Niveau Reprise d'études

Cauchy lipschitz global

Posté par
Jepoti213 06-10-21 à 14:40

Bonjour, voici mon exercice :

Problème de Cauchy sur ]0,[ :
y'(t) = sin(y(t))/t avec y(to)=yo, to>0, yo réelle.

Je dois justifier qu'il existe une unique solution à ce problème.

Je commence par dire que la fonction second membre telle que l'équation s'écrit de la forme y'(t) = f(t,y(t)) est une fonction f de ]0,[ x R dans R qui a (t,y) associe sin(y)/t

Pour utiliser le théoreme de Cauchy lipschitz global il me suffit de montrer que f est globalement lipschitzienne par rapport a y, uniformément par rapport à t.

Sauf que je bloque :

pour tout x,y dans R :
|f(t,x) - f(t,y)| = |sin(x) - sin(y)|/|t|
comme sin est 1-lipschitzienne alors on a :
|f(t,x) - f(t,y)| |x-y| |t|
mais ma constante de lipschitz dépend de t donc je ne peux pas conclure...

merci !

Posté par re : Cauchy lipschitz global 06-10-21 à 14:53

Bonjour Jepoti213.

Le théorème de CL commence comme ceci :

Soient (E,‖.‖ ) un $\R$ -espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit $\Omega$ un ouvert de $\R \times E$ .
Soient $f : \Omega \rightarrow E$ une fonction continue sur Ω, localement lipchitzienne en sa seconde variable,
alors il existe une unique bla bla ... telle que bla bla ...

Le théorème de Cauchy-Lipschitz n'exige pas de condition particulière sur la première variable.

$f(t,y) = \frac{\sin(y)}{t}$ est définie et $C^\infty$ sur $\R^* \times\R$ et donc $C^\infty$ en sa première variable, elle est donc localement lipschitz en y.

C'est plus qu'il ne t'en faut pour l'unicité de ton problème.

Posté par re : Cauchy lipschitz global 06-10-21 à 14:57

Merci pour ton intervention mais dans mon exercice il est écrit au début "sur CAUCHY LIPSCHITZ GLOBAL" et le théoreme de CL global demande plus que localement..

Posté par re : Cauchy lipschitz global 06-10-21 à 15:31

Je pense avoir trouver :
Si je pose un a > 0, j'ai alors t qui appartient a [a,[
et donc 1/ |t| 1/ |a| qui sera ma constante de lipschitz ne dépendant pas de t donc c'est bon je peux conclure ????

Posté par re : Cauchy lipschitz global 06-10-21 à 15:31

Je ne connais qu'un théorème de Cauchy-Lipschitz ! Il n'est pas plus global que local, et il s'appelle "théorème de Cauchy-Lipschitz".
Le global ou le local n'intervient, éventuellement, que dans un corollaire du théorème si l'on souhaite une conclusion du théorème avec des solutions maximales !

Le théorème de CL commence par "localement lipchitzienne en sa seconde variable"

Maintenant, si tu veux globalement lipschitz en y, uniformément par rapport à t sur l'expression |f(t,x) - f(t,y)| $\leq$ |x-y|/ |t| ... alors bon courage !

Eventuellement, ce que tu peux faire, c'est considérer 0 < b < t et majorer |f(t,x) - f(t,y)| $\leq$ |x-y|/ |t| $\leq$ (1/b)|x-y| et on retombe sur du local lipschitz.

Tout cela est bien compliqué et autant considérer que f(t,y) est local lipchitz en y.

Posté par re : Cauchy lipschitz global 06-10-21 à 16:09

Bonjour,

Le théorème global que j'ai stipule que la constante de contraction dépend du compact contenu dans l'intervalle où est t , alors effectivement dans la preuve tu la fais sur un compact (ici [a, +infini[ suffit et tu recolles les morceaux.