Niveau autre

changement de base, matrice de passage

Posté par thaelyn (invité) 23-09-07 à 19:01

bonsoir,
je suis deuxième année de licence et j'ai dû mal avec les matrices de passage est-il possible que vous me donné des exemple + ou - difficiles merci beaucoup.

Posté par re : changement de base, matrice de passage 23-09-07 à 19:56

Dans un espace vectoriel à 2 dimensions:

Soit $X=(u,v)^T$ un vecteur exprimé dans une base $\mathcal{B}$ , $X'=(u',v')^T$ le même vecteur exprimé dans une base $\mathcal{B}'$ , et $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B'}$ alors :

$X=PY$ et $Y=P^{-1}X$

soit:

$\left( \\ \begin{array}{c} \\ u \\ \\ v \\ \end{array} \\ \right)=\left( \\ \begin{array}{cc} \\ p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \\ \end{array} \\ \right)\left( \\ \begin{array}{c} \\ u' \\ \\ v' \\ \end{array} \\ \right) \\$

C'est la matrice de passage inverse qui permet d'obtenir les coordonnées du vecteur dans la nouvelle base $\mathcal{B'}$ ...

Et cette matrice de passage est assez facile à obtenir, puisque chacune de ses colonnes correspond à chacun des vecteurs formant $\mathcal{B'}$ , exprimé dans $\mathcal{B}$ .
Autrement dit, si l'on note $\mathcal{B}'=(e_1,e_2)$ on a alors :

$e_1=\left( \\ \begin{array}{c} \\ p_{11} \\ \\ p_{21} \\ \end{array}\right)$ et $e_2=\left( \\ \begin{array}{c} \\ p_{12} \\ \\ p_{22} \\ \end{array}\right)$

Tu peux le vérifier facilement sur l'exemple suivant (éventuellement à l'aide d'un schéma pour bien visualiser les différentes bases):

Matrice de passage d'une base orthornormée du plan $\mathbb{R}^2$ $\mathcal{B}$ à une base $\mathcal{B}'$ obtenue par rotation d'un angle $\theta$ de $\mathcal{B}$ :

$P=\left(\begin{array}{cc} \\ \cos \theta & -sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array} \\ \right) \\$

Posté par thaelyn (invité)changement de base, matrice de passage 23-09-07 à 20:13

merci, mais je sais la définition le problème c est l application, est ce qu il serait possible de donner deux ou trois exemple détaillé s'il vous plait merci.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

changement de base, matrice de passage

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths