Annuler
connectez vous
- Un Cours sur les ensembles mathématiques - seconde
- Cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde
- Rappel sur les nombres premiers suivi de neuf Exercices d'application - seconde
- Cours sur les valeurs absolues, les encadrements, les distances - seconde
- Petit Exercice d'initiation aux valeurs absolues - seconde
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. SecondeForum de Maths Seconde Nombres et calculs, valeurs absoluesTopics traitant de Nombres et calculs, valeurs absolues [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau seconde
Chiffres De Mersenne
Posté par aTon (invité)
Bonjour a tous , j'ai un probléme pour mon exposé de math , j'espére que vous pourrez m'aider.
On souhaite démontrer le théorème suivant : <<Si n n'est pas un nombre premier , alors 2n-1 n'est pas un nombre premier.>>
1)
Question préliminaire : Soit x un reel k un entier naturel supérieur ou égal a 2.
Montrer que xk-1=(x-1)(xk-1+xk-2+...+x+1)
Pour cela , commencer par démontrer la formule pour k=2 k=3 k=4
2)Dans cette question on va démontrer le théorème
Soitn un entier naturel non nul , et non premier. n admet alors un diviseurs trict noté d.On a n=d*d' avec 1<d<n
a)Prouver que d' est un diviseur strict de n , c'est a dire 1<d'<n et d' entier naturel
b)Vérifiez que 2n-1=(2d)d'-1
c)En utilisant la question 1) prouver que 2n-1=(2d-1)q ou q est un entier positif
d)Prouver que 1<22-1<2n-1
e) En déduire que 2n-1 n'est pas premier.Conclure
En fait le théorème que vous venez de démontrer est plus souvent énoncer de la maniére suivante : << Si 2n-1 est un nombre alors n est un nombre premier.>>
Posté par aTon (invité)re : Chiffres De Mersenne
Personne ne peut m'aider svp ? Je suis vraiment dans la galére
1/
pour k=2
x²-1=(x-1)(x+1) c'est ok
x^3-1=(x-1)(ax²+bx+c) trouver a b c si c'est ok
=ax^3+bx²+cx-ax²-bx-c=ax^3+x²(b-a)+x(c-b)-c alors a=1 c=1 et b-a=0 alors b=a=1
x^3-1=(x-1)(x²+x+1) ok
idem pour x^4-1=(x-1)(ax^3+bx²+cx+d)
2/
a/
si d' divise n alors n=a*d' il n'y a pas de reste car le reste r=0
car une division c'est n=a*d+r si diviseur strict alors r=0
et donc soit a=1 et donc d'=n et donc 1<d'<n
b/
n=d*d'
2^n-1=2^(d*d')-1 = (2^d)^d'-1 définition des exposants
car aussi (2^d)^d'=2^d*d'=2^n car n=d*d'
c/
2^n-1=(2^d-1)q alors (2^d-1)
remplacer x par 2 et k par n
d/
2²<2^n pou n>0
0<2²<2^n
1<2²-1
2²-1<2^n-1 car on ajoute -1 et cela ne change pas le sens de l'inégalité