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classes d'équivalences
Posté par letonio
Bonjour tout le monde,
J'ai un petit soucis.
On est dans Z/5Z.
Et on veut démontrer le petit lemme suivant:
cl(x).cl(y)=cl(0) => cl(x)=cl(0) ou cl(y)= cl(0)
ma prof écrit
cl(x)cl(y)= cl(0)<=> cl(xy)= cl(0)
Est-ce que cl(x).cl(y)= cl(xy) uniquement dans le cas où on a que c'est égal à cl(0) à droite ou est-ce qu'on a en général cl(x).cl(y)= cl(xy)?
Il me semble que c'est faux en général, mais je ne parviens pas à le démontrer. Je ne parviens pas non plus à voir pourquoi c'est vrai si c'est égal à cl(0).
Pourriez-vous m'éclairer?
Je rappelle pourquoi ça marche :
si x' est un représentant de la classe de x , x' = x+ kn
si y' ............................... de y , y' = y + k'n
donc x'y' = xy + n( ky+k'x+ kk') qui est bien un représentant de la classe de xy . Bref le produit des classes a le droit d'être défini comme la classe du produit : ça ne dépend pas du choix du représentant.
Je crois avoir finalement compris.
On veut montrer que cl(ab)= cl(a)cl(b)
on voit facilement que cl(ab) est inclus dans cl(a)cl(b)
On veut donc montre l'autre inclusion.
montrons que pour tout x dans cl(a), pou tout y dans cl(b), xy est dans cl(ab)
ou encore que 5| xy-ab
or on a x-a=0[5] et y-b=0[5] => xy-ab -bx-ay+2ab=0[5] => xy-ab=0[5] car x=a[5] et y=b[5]
Est-ce correct?