Niveau LicenceMaths 2e/3e a

(code BCH)Factorisation de polynomes

Posté par
Scaramouche 14-04-18 à 21:44

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide concernant quelque chose que je ne comprend pas.

Soit $p(x)=x^3+x^2+1$ le polynôme primitif dans $F_2[x]$

Je dois construire un code BCH-2 correcteur,

Donc le code est de distance constuite 4 et je dois calculer les polynomes minimaux pour les 4 premières puissances de $a=\bar{x}$

Et par le morphisme de Frobenius j'ai:

m1(x)=m2(x)=m4(x)=p(x)

Pour le calcul de m3(x) je sais $a^3$ est raçine du polynome $f(x)=x^7-1$ (car $a^7=1$ ) et donc m3 est le facteur de la décomposition de f que $a^3$ annule

Or j'ignore comment obtenir la décomposition de f(x) en facteurs premiers, pous vous s'il vous plait m'indiquer la marche à suivre pour l'obtenir.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : (code BCH)Factorisation de polynomes 14-04-18 à 21:59

Bonjour
tu es dans $F_2$ ? que vient alors faire -1 dans cette galère ?

Posté par re : (code BCH)Factorisation de polynomes 14-04-18 à 22:49

en général ce genre de polynome est écrit comme ça mais oui je peux écrire

$f(x)=x^7+1$

Posté par re : (code BCH)Factorisation de polynomes 15-04-18 à 08:21

Bonjour !
Même dans $\mathbb{F}_2$ on voit que 1 est racine du polynôme et de sa dérivée donc factorisation par $(x-1)^2=(x+1)^2$ possible.
Dans ce corps, le carré est un morphisme additif donc tu peux factoriser aussi $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)^2$ .
Reste à voir si $x^2+x+1$ est irréductible ou pas!

Posté par re : (code BCH)Factorisation de polynomes 15-04-18 à 15:33

Désolé, ça ne vaut pas grand chose!
..........
Considère plutôt :
$X^7-1=(X-1)(X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1)$ .
Le deuxième facteur est un palindrome donc on peut l'écrire en fonction de $Z=X+\dfrac1X$ ce qui revient à $Z^3+Z^2+Z+1=(Z+1)^3$ .

Par conséquent tu devrais avoir $X^7-1=(X-1)(X^2+X+1)^3$ et $X^2+X+1$ irréductible puisque les facteurs éventuels de de degré1 imposent qu'il a des racines dans le corps.

Posté par re : (code BCH)Factorisation de polynomes 15-04-18 à 16:15

Désolé, c'est encore faux : ce corps à deux éléments m'en veut vraiment.

L'expression en $Z$ serait plutôt $Z^3+Z^2+1$ qui ne se factorise pas (pas de facteur de degré 1) : je pense donc qu'on a deux facteurs irréductibles, l'un étant $X-1$ .

Posté par Code BCH 21-04-18 à 04:08

Bonjour à tous, je viens de terminer un exercice sur les codes BCH, celui-ci est de distante construite 2 et du coup j'ignore si j'ai bien fait comme il faut, voici l'exercice.

Soit $p(x)=x^3+x+1$

Pour construire un code BCH de distance construite 2 je dois considérer les deux premières puissances de $a=\tilde{x}$ . $a$ et $a^2$

Je sais que $p(a)=0$ et par le morphisme de Frobenius que $p(a^2)=p(a)^2=0$

D'où
$m_1(x)=m_2(x)=p(x)$
et donc j'ai le polynôme minimale:
$g(x)=x^3+x+1$
et la base de $C$ { $g(x), xg(x), x^2g(x), x^3g(x)$ }

$C$ est un code un [7,4]-code qui contient 2^4 mots (ça je ne suis pas sur à 100% pour le 7)

Ensuite je reçois le vecteur $r=(1101010) \\$
Qui correspond au polynôme $r(x)=1+x+x^3+x^5$

On me demande ensuite de calculer les syndromes $r_1$ et $r_2$ et j'ai:

$r_1=r(a)=a^3$ et $r_2=r(a^2)=a^6$

Je dois ensuite calculer le polynôme localisateur d'erreur et je trouve.

$E(x)=(x-a^3)(x-a^6)=x^2-a^6x-a^3x+a^9$

Je trouve que $a^3$ est racine de E et j'ai donc $e(x)=x^3$

et j'ai la correction $c(x)=r(x)+e(x)= 1+x+x^5$

Quelqu'un peut-il me dire si il voit une erreur dans ce que j'ai fais ? ça m'aiderai beaucoup.

Merci d'avance pour votre aide.

*** message déplacé ***

Posté par re : Code BCH 21-04-18 à 13:50

Je up, quelqu'un peut-il me dire si il voit une erreur dans ce que j'ai fais (notamment le calcul du polynôme localisateur d'erreurs)

Merci pour votre aide

*** message déplacé ***

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

arithmétique en post-bac
2 fiches de mathématiques sur "arithmétique" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

(code BCH)Factorisation de polynomes

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths