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codimension et fermeture
Bonjour,
Je voulais avoir une confirmation s'il vous plaît.
J'ai un K-ev E de dimension infinie.
Je voulais savoir si un sev F de codimension finie est forcément fermé.
En fait je pense l'avoir démontré mais c'est fortement possible que je me soit trompé quelque part.
J'ai pris une suite (Xn) de points de F qui converge vers x
Je prends un z
E choisi arbitrairement
Comme F est de codimension finie, il est en somme directe avec un sev G de dimension finie.
Et donc il existe une suite (Yn) tel que Xn+Yn=z pour tout n
Je fais tendre n--->+
, et alors on a la suite (Yn) qui admet une limite que l'on appelle y avec x+y=z
Et alors G est un sev de dim finie donc il est fermé donc yG.
et donc par la somme directe j'ai xF
CQFD
Est-ce que ce raisonnement est correct, et sinon pourquoi?
Merci de votre réponse.
Bonjour.
J'ai un K-ev E de dimension infinie.
Pour pouvoir parler de sous-espace fermé, il faut aussi qu'il soit muni d'une norme, ou à la limite d'une topologie ...
Le résultat que tu cherches à montrer est faux : les hyperplan sont de codimension 1, et il existe des hyperplans non fermés. (il suffit de considérer le noyau d'une forme linéaire non continue)
et donc par la somme directe j'ai
Il faut revoir les propriétés de la somme directe, c'est totalement faux !
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