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Coefficient de Bezout... qui résistent !

Posté par Dez (invité) 23-01-05 à 10:57

Bonjour !

La semaine dernière, en colle de Maths, le professeur m'a demander de démontrer que

pgcd ( 2^n + 3^n , 2^(n+1) + 3^(n+1) ) = 1

Ca j'ai réussi à le démontrer, mais à la fin de l'heure, il m'a demander de rechercher, "si ça m'amusait", les coefficients de Bezout de la bête, que le résultat l'intéressait mais qu'il avait la flemme de le faire !

Je n'ai pas réussi à remonter l'algorithme d'Euclide (pas même à le descendre en fait.... il bloque ! )

J'ai demandé à ma prof de cours, qui n'a pas trouvé non plus.

Bref, me voilà à la recherche d'une aide providentielle
Pas que celà soit obligatoire, mais j'aime pas rester bloquer sur quelque chose.

Posté par Emma (invité)re : Coefficient de Bezout... qui résistent ! 23-01-05 à 11:28

Salut Dez

Je ne sais pas ce que ça va donner, mais je commence déjà la première étape :

\large \array{ccl $ \frac{2^{n+1}\;+\;3^{n+1}}{2^{n}\;+\;3^{n}} & = & \frac{2.2^{n}\;+\;3.3^{n}}{2^{n}\;+\;3^{n}} \\ \vspace{5} \\ & = & \frac{2.2^{n}\;+\;2.3^{n}\;+\;3^{n}}{2^{n}\;+\;3^{n}} \\ \vspace{5} \\ & = & \frac{2\;.\;[2^{n}\;+\;3^{n}]\;+\;3^n}{2^{n}\;+\;3^{n}} \\ \vspace{5} \\ & = & 2\;+\;\frac{3^n}{2^{n}\;+\;3^{n}}

Donc, en multipliant les deux membres par 2^{n}\;+\;3^{n}, on obtient :

2^{n+1}\;+\;3^{n+1}\;\;=\;\;2\;\times\;(2^{n}\;+\;3^{n})\;+\;(3^n)

On a donc notre premier quotient ( q_1\;=\;2 ) et notre premier reste ( r_1\;=\;3^n qui est bien inférieur au diviseur ( 2^n\;+\;3^n ))

Posté par Dez (invité)re : Coefficient de Bezout... qui résistent ! 23-01-05 à 11:35

La deuxième étape est vite vue :

2^{n} + 3^{n}  =  3^{n}  +  q

Ici le reste est vite trouvé, il reste de mon niveau ( ) : 2^{n}

=> 2^{n} + 3^{n}  =  1.3^{n}  +  2^{n}

C'est à partir de là que je bloquais :

3^{n} = x.2^{n} + q

La seule manière que je connais ça serait de poser
q = 3^{n} - 2^{n}

Mais du coup, le reste serait plus grand que 2{n}...
(suffit de prendre n=3, c'est vite vu !)

Bon, c'est à la limite pas dramatique, la méthode fonctionne toujours, mais si on continue à partir de là, en utilisant ce résultat, on tourne en rond et on arrive à aucun résultat

Posté par Emma (invité)re : Coefficient de Bezout... qui résistent ! 23-01-05 à 11:38

Je continue : il faut maintenant effectuer la division euclidienne de 2^n\;+\;3^n par r_1\;=\;3^n :

On peut directement remarquer que 2^n\;+\;3^n\;\;=\;\;1\;\times\;3^n\;+\;2^n
Donc q_2\;=\;1 et r_2\;=\;2^n (qui est bien plus petit que le diviseur r_1\;=\;3^n, puisque 2 < 3 )

----------
Mais sinon, on peut aussi se lancer dans la division pour trouver le quotient q_2:

\large \array{ccl $ \frac{2^n\;+\;3^n}{3^n} & = & \frac{3^n}{3^n}\;+\;\frac{2^n}{3^n} \\ \vspace{5} \\ & = & 1\;+\;\frac{2^n}{3^n}

Donc 2^n\;+\;3^n\;\;=\;\;1\;\times\;3^n\;+\;\frac{2^n}{3^n}\;\times\;3^n
Et donc 2^n\;+\;3^n\;\;=\;\;1\;\times\;3^n\;+\;2^n
----------

Bref, q_2\;=\;1 et r_2\;=\;2^n

Posté par Emma (invité)re : Coefficient de Bezout... qui résistent ! 23-01-05 à 11:40

ok... j'avais pas vu ton message avant de poster...

Je regarde la division suivante.
Mais tu as raison : si tu ne restectes pas la règle 'le diviseur doit être plus petit que le quotient... tu ne pourras pas aboutir )

Bon, je m'y mets

Posté par Dez (invité)re : Coefficient de Bezout... qui résistent ! 23-01-05 à 11:41

En tout cas, merci beaucoup de l'aide, la rédactione st on ne peut plus claire !

Mais je suis immpatient de voir comment tu vas faire pour l'étape suivante... je reste dessus depuis un bon bout de  temps !

Posté par Emma (invité)re : Coefficient de Bezout... qui résistent ! 23-01-05 à 12:30

Bon... J'ai pas mal tourné en rond, moi aussi...
J'espérais trouver une idée en regardant ce qu'il se passait pour les premières valeurs de n (histoire de pouvoir trouver un lien entre (q_3 ; r_3) et n...
[/sub]\rm \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\\\hline \vspace{5} \\  valeur de n && valeur de q_3 & valeur de r_3  \vspace{5} \\ \vspace{5}  \\\hline \vspace{5} \\  1 && 1 & 1 \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline \vspace{5} \\  2 && 2 & 1  \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline \vspace{5} \\  3 && 3 & 3  \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline \vspace{5} \\  4 && 5 & 1  \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline \vspace{5} \\  5 && 7 & 19  \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline \vspace{5} \\  6 && 11 & 25  \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline \vspace{5} \\  7 && 17 & 11  \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline \vspace{5} \\  8 && 25 & 16  \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline \vspace{5} \\  9 && 38 & 227  \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline \vspace{5} \\  10 && 57 & 681  \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline\\\\end{tabular}

Mais je ne vois pas grand chose
( à part qu'au début, j'étais allée jusqu'à n=7, et que du coup, j'ai cru que la suite des quotients coïncidait avec la suite des nombres premiers... )

Pour l'instant, je suis à cours d'idée... Je vois mal comment trouver un résultat général.
Mais si tu as une piste...
Ou si ton prof s'est lancé dans l'algorithme de son côté...
Ca m'intéresse

Désolée de ne pas avoir pu t'aider

@+
Emma

Posté par Dez (invité)re : Coefficient de Bezout... qui résistent ! 23-01-05 à 18:59

Merci bien !

(oulah, les fautes horribles que j'ai fait... Je suis trop habitué aux éditions !


Je continue à chercher de mon côté, dès que je sais quelque chose de plus, je vous en ferais part.

En attendant, si quelqu'un d'autre se sent d'aplomb pour...

Posté par
franzre : Coefficient de Bezout... qui résistent ! 23-01-05 à 20:59

Je suis parti sur une autre idée mais je n'ai pas conclu pour autant.
Il me semble qu'il est néanmoins possible de déboucher mais je n'ai pas trop le temps. Je vous livre l'état de mes périgrinations.


\array{(2+3).(2^n+3^n) & = & 2^{n+1}+3^{n+1}+3.2^n+2.3^n \\ 5.(2^n+3^n) & = & (2^{n+1}+3^{n+1})+6.(2^{n-1}+3^{n-1})

Si on appelle u_n=2^n+3^n et a_n et b_n les coefficients de Bézout tels que

a_n\, u_n\;+\;b_n\,u_{n-1}=1
c'est-à-dire

(a_n-k u_{n-1})\, u_n\;+\;(b_n+k u_n)\,u_{n-1}=1


D'après la seconde égalité
u_{n-1}=\frac 5 6 u_n -\frac 1 6 u_{n+1}

\array{1 & = & (a_n-k u_{n-1})\, u_n\;+\;(b_n+k u_n)\,(\frac 5 6 u_n -\frac 1 6 u_{n+1}) \\ & = & -\frac {b_n+k u_n}6 u_{n+1}+ (a_n-k u_{n-1}+\frac 5 6 (b_n+k u_n)) u_n

Du moment que b_n+k u_n est un multiple de 6, on peut écrire
a_{n+1}=-\frac {b_n+k u_n}6
b_{n+1}=a_n-k u_{n-1}+\frac 5 6 (b_n+k u_n)

or
(6-1)^n=5^n=(2+3)^n=2^n+3^n+\Bigsum_{i=1}^{n-1}\(\array{n\\i}\)2^i3^{n-i}
donc
u_n=2^n+3^n\eq(-1)^n\,[6]

Le problème est d'exprimer k afin que b_n+k u_n soit un multiple de 6.


Peut-être avez-vous des idées pour poursuivre ?




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