Niveau autre

coefficient de correlation

Posté par sounabil78 (invité) 03-11-06 à 01:02

Bonsoir,comment montrer que la valeur absolue du coefficient de correlaion <=1?faut t-il utiliser l'inégalité de cauchy scwartz et comment faire ?aidez moi svp .

édit Océane : niveau renseigné

Posté par re : coefficient de correlation 03-11-06 à 04:09

Bonjour,

On sait que :
$V(X+Y)=V(X)+2\,\mathrm{cov}(X,Y)+V(Y)$

Donc, pour tout $t$ réel :
$V(tX+Y)=V(tX)+2\mathrm{cov}(tX,Y)+V(Y)=\left(V(X)\right)t^2+2\left(\mathrm{cov}(X,Y)\right)t+\left(V(Y)\right)$
Ce trinôme du second degré en $t$ est toujours positif ou nul, puisqu'il s'agit d'une variance. Son discriminant réduit doit donc être négatif ou nul :
$\left[\mathrm{cov}(X,Y)\right]^2-V(X)V(Y)\le 0$
$\left[\mathrm{cov}(X,Y)\right]^2\le V(X)V(Y)$
Donc la valeur absolue du coefficient de corrélation est inférieure à 1.

Nicolas

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