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Niveau maths spé
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Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal

Posté par
jft91
23-11-22 à 15:51

Bonjour à tous,
Je recherche une démonstration du résultat suivant :
A la ligne n du triangle de Pascal on sait que si n est premier alors tous les coéfficients binômiaux entre les 1 et n-1 sont divisibles par n. La réciproque est vraie : si tous ces coéfficients binômiaux sont divisibles par n alors n est premier.
Je cherche une démonstration de cette réciproque.
Si on fait la somme de ces coéfficients on trouve  2^n -2 mais le petit théorème de Fermat n'est pas un critère de primalité!
Merci d'avance pour vos réponses

Posté par
GBZM
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 23-11-22 à 16:40

Bonjour,

Supposons n>1 non premier et soit p un diviseur premier de n. Que peux-tu dire de C_n^p ?

Posté par
jft91
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 31-01-23 à 12:06

Merci à GBZM pour sa réponse. En utilisant son indication voilà ce que j'ai trouvé  :
Soit n entier, disons supérieur à 5, tel que tous les C_{n}^p pour p compris entre 1 et n-1 soient divisibles par n. Soit p un nombre premier strictement inférieur à n et supposons que p divise n. Donc le quotient :  \frac{(n-1)(n-2)...(n-p+1)}{p!} est un entiera_{p} . D'où  : (n-1)(n-2)..(n-p+1) = a_{p}.p! (*)
Mais n et n-p sont 2 multiples consécutifs de p et entre ces 2 multiples consécutifs de p il y a les p-1 entiers  : n-1, n-2, ..., n-p+1 dont aucun n'est multiple de p. L'égalité (*) est donc impossible et p ne divise pas n. ceci est vrai pour tous les nombres premiers strictement inférieurs à n. Puisque aucun nombre premier ne divise n on en conclut qe n est premier.
Est-ce correct?

Posté par
GBZM
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 31-01-23 à 13:41

Bonjour,
C'est une réaction vraiment rapide !
Ça marche. On peut aussi voir ça comme suit : si p est un diviseur premier de n, alors la valuation p-adique de C_n^p est strictement inférieure à celle de n.

Posté par
jft91
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 31-01-23 à 14:11

Oui je reconnais être un peu lent à répondre! J'avoue aussi que j'aurais besoin d'explications pour votre indication.

Toujours en ce qui concerne la valuation p-adique j'ai pris conscience de la question posée en écoutant une conférence donnée à l'IHP qui pourrait vous intéresser :
https://www.youtube.com/watch?v=-gRmCFwquTI&list=LL&index=137&t=1291s

Bon après midi

Posté par
GBZM
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 31-01-23 à 18:13

Merci, ce dont je parle ici n'est pas les entiers p-adiques mais juste la valuation p-adique d'un entier, c.-à-d. la puissance de p dans sa décomposition en facteurs premiers (c'est 0 si p ne divise pas l'entier).
Si p est un premier qui divise n>0, alors C_n^p=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!} a une valuation p-adique égale à la valuation p-adique de n moins 1, puisque comme tu l'as remarqué p ne divise pas (n-1)\cdots(n-p+1).
Or une condition nécessaire et suffisante pour que n divise un entier q est que, pour tout premier p, la valuation p-adique de n soit inférieure ou égale à celle de q.

Posté par
jft91
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 01-02-23 à 17:34

Merci pour la précision!

Posté par
jft91
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 22-02-23 à 12:31

Une autre démonstration qui utilise le résultat suivant :
Soit p un nombre premier, m un entier naturel au moins égal à 1 et q un entier naturel non nul premier avec p. Alors :
C_{p^m.q}^{p^m}  est congru à q modulo p (*).
Supposons donc n  non premier tel que tous les C_{n}^k (k compris entre 1 et n-1) soient divisibles par n. Soit p un diviseur strict et premier de n et soit m l'exposant de p dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers de sorte que n peut s'écrire : p^m.q où q est premier avec p .En utilisant (*) on peut écrire :
C_{n}^{p^m} = q+k.p où k est un entier.
Contradiction puisque q n'est pas divisible par p tandis que par hypothèse C_{n}^{p^m} l'est.
Ainsi n n'a aucun diviseur premier strict donc n est premier.

Posté par
GBZM
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 22-02-23 à 12:42

Et comment démontres-tu le résultat (*) ?

Posté par
jft91
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 22-02-23 à 14:16

Ce résultat et sa démonstration figure dans les ouvrages de théorie des groupes au chapitre "théorèmes de Sylow"

Posté par
Ulmiere
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 22-02-23 à 14:27

Les théorèmes de Sylow sont de niveau L3 cependant, donc au-dessus de maths spé

Posté par
GBZM
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 22-02-23 à 14:29

C'est un peu marteau-pilon pour écraser une mouche. Le raisonnement que je te proposais est élémentaire.

Posté par
jft91
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 22-02-23 à 14:47

Ce résultat de combinatoire peut se démontrer  sans faire appel à la théorie des groupes!

Posté par
GBZM
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 22-02-23 à 14:52

Le raisonnement élémentaire que j'ai indiqué plus haut ne fait aucunement appel à la théorie des groupes.

Posté par
jft91
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 22-02-23 à 14:56

Ni mon  1er raisonnement et il n'est pas interdit de proposer plusieurs méthodes!

Posté par
GBZM
re : Coéfficients binômiaux et triangle de Pascal 22-02-23 à 15:16

Je ne suis pas sûr qu'utiliser comme admis un résultat plus fort que le résultat simple que l'on veut démontrer soit une méthode très appropriée.
À toi de voir.



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