Il faut avant tout PARFAITEMENT visualiser de quoi on parle.
On parle des k-parties I  inclues dans [[1,n]], et ne contenant pas 2 entiers consécutifs.
Et L est l'ensemble de ces k-parties ...
Je pense que la 1ère chose à faire, c'est de réécrire cette définition de L, avec des mots du langage courant.

La question 1, on peut la réécrire : montrer que si 2k > n+1 alors L est l'ensemble vide.

Je pense avoir bien visualisé le contexte. Pour le résumer en trois points:

- les k-parties sont inclues dans I --> les éléments de chacune de ces parties appartiennent à I;
- les k-parties ne contiennent pas deux entiers consécutifs --> donc les parties les plus grandes ont un maximum de n/2 éléments si n pair et (n+1)/2 éléments si n impair;
- L est l'ensemble de toutes ces k-parties (avec 1 ≤ k ≤ n/2 que l'on déduit du point précédent).

Et donc du coup grâce au deuxième point on en déduit la réponse à la première question.

Ai-je bien compris?

Oui, je pense que tu es sur la bonne voie.  
Du coup, comment rédiges-tu la réponse à la 1ère question.

Puis, il va falloir attaquer la 2ème question.

Pour les rédactions, je rédigerais quelque chose comme cela:

1) Les k-parties sont inclues dans [[1, n]], donc leurs éléments respectifs appartiennent tous à [[1, n]] avec n ≥ 1.
D'autre part, ces k-parties ne contiennent pas deux entiers consécutifs
Ainsi, si n ≥ 1 est pair, les k-parties les plus grandes ont un maximum de n/2 éléments, et si n ≥ 1 est impair, un maximum de (n+1)/2 éléments.
On en déduit que si L ≠ Ø, alors k ≤ (n+1)/2, donc 2k ≤ n+1.

2) I = {a1, a2, ..., ak} ∈ L, donc par définition I ⊆ [[1, n]]
Alors on a 1 ≤ a1 < a2 < ... < ak ≤ n.
a1, ..., ak ne sont par définition pas consécutifs.
Ainsi, on peut écrire : 1 ≤  a1 < a2-1 < ... < ak - k + 1 < ak ≤ n
Comme ak ≤ n, on a ak - k +1 ≤ n - k + 1
On peut donc écrire 1 ≤ a1 < a2 - 1 < ... < ak - k+1 ≤ n - k +1
On a donc B ⊆ [[1, n - k+1]]
Et comme B a k éléments, alors on peut en conclure que B est une k-partie de [[1, n - k+1]]

Désolé pour la réaction tardive, j'ai pris une pause ce soir et j'attaque les questions 3 et 4 demain matin.

Pour la question 2, il y a une chose qu'il faut dire clairement ... c'est que les éléments (a₁, a₂-1, a₃-2 ,  ... a_k -(k-1) ) sont tous distincts 2 à 2.
Et pourquoi ils sont distincts 2 à 2.

Finalement, j'ai travaillé sur les deux dernières questions. Je trouve mes réponses un peu bancales...

3) La surjectivité est directe
Injectivité: Soient deux ensembles A = {a1, a2-1, ..., ak - k +1} et A' = {a1', a2' - 1, ..., ak' - k +1}, qui sont des k-parties de [[1, n-k+1]] telles que A = A'.
On a alors a1 = a1'; a2 - 1= a2' -1; ... ; ak - k +1 = ak' - k +1.
Soit a1 = a1', a2 = a2', ..., ak = ak'.
Donc est injective
On en conclut que est bijective

4) Soit M l'ensemble des k-parties de [[1, n-k+1]]
L est en bijection avec M, donc |L| = |M|
Et on a

Désolé, je n'avais pas vu ta réponse pour la question 2!

Je pensais que le fait de noter que l'on a 1 ≤  a1 < a2-1 < ... < ak - k + 1 < ak ≤ n est suffisant pour justifier qu'ils sont 2 à 2 distincts... non?