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Niveau seconde
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comfirmation:comparaison de moyennes avec a et b

Posté par marion (invité) 14-01-02 à 16:17

1/comparaisons de moyennes
soit a et b deux reels strictement positifs on note:
m=(a+b)/2 la moyenne arithmetique de a et de b
g=V(ab) (V represente une racine carrée soit racine carrée de a et de b)

on suppose que a plus petit ou egale a b. etablir en utilisant les theoremes
de rangement et la methode de la difference que a <ou=g<ou= m<ou=
b

Mes resultats dont:
comme a et b sont deux reels positifs non nul et que l'on a l'inequation
a<ou=b, alors on peut multiplier membres a membres 2 fois cette inequation.
on obtiendra alors une inequation de meme sens. les nombres strictement
positif et leurs racines carrés sont rangés dans le meme ordre
(pour rapidite j'ecrirai < la place de <ou=)
_a<b
axa<ab
Vaxa<Vab
a<Vab
donc a<g

_b>a
b+b>a+b
2b/2>(a+b)/2
b>(a+b)/2
donc m<b
apres il faut la difference entre g et m
m-g=(a+b)/2-Vab=a+b-2Vab=(Va-Vb)au carré
comme a<b et les nombres a et b et leur racine sont rangées dans le meme
sens donc Va-Vb est negatif.

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
Bien 14-01-02 à 16:48

Oui je ne vois aucune erreur.

a<g OK

m<b OK

Pour démontrer que g<m, la méthode est bonne, mais attention à l'écriture
: on cherche le signe de m-g=(a+b)/2-Vab

On peut en déduire que m-g est du signe de a+b-2Vab ( mais ce n'est plus égal à m-g )

Puisque 2(m-g) = (Va-Vb)²

On a m-g > 0

et donc m>g



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