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Niveau terminale
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comment montrer qu une distante est constante ?

Posté par
djnny
22-11-09 à 16:07

voila j ai un exerciCe a rendre demain et je ne vois pas comment faire .S IL vous plait
"on concidére la courbe c representant la fonction exponentielle et un point m de c.la tagente t à la courbe c au point m coupe l axe des abscisses en h.m' est le projeté orhtoghonal de m sur l axe des abscisses .montrer que la distance hm' est constante .

Posté par
pythamede
re : comment montrer qu une distante est constante ? 22-11-09 à 18:44

Je ne vois absolument pas où se trouve la difficulté, si tu connais ton cours !

Tu choisis un point m quelconque sur c. Tu cherches l'équation de la tangente (niveau première), tu cherches ensuite en quel point cette droite coupe l'axe des x (niveau seconde, ou même troisième), et enfin, tu localises m' (niveau troisième). Et enfin, tu calcules hm'  (niveau seconde) !  Seule la référence à la fonction exponentielle est du niveau terminale ! Bien sûr, il faut savoir quelle est la dérivée de l'exponentielle !

C'est très très facile !

Posté par
djnny
re : comment montrer qu une distante est constante ? 22-11-09 à 19:40

pour moi ce n est pas trés facile et avec tout ce que tu as cité commment montrer qie la distance hm' est constante?

Posté par
pythamede
re : comment montrer qu une distante est constante ? 22-11-09 à 21:09

Ben, une fois que tu as calculé hm', si tu vois que cela ne d&pend pas du point M d'où l'on est parti, ça veut bien dire que c'est constant, non ?

Posté par
djnny
re : comment montrer qu une distante est constante ? 22-11-09 à 21:44

je vois meme pas commment calculer je vois pas du tout là

Posté par
pythamede
re : comment montrer qu une distante est constante ? 23-11-09 à 08:23

Soit un point M de c. Son abscisse est x_M=a. Son ordonnée est donc y_M=e^a
M' est son projeté sur l'axe des abscisses. Ses coordonnées sont donc (a;0).
La tangente à la courbe C_f représentative de la fonction f, au point d'abscisse a a pour équation :

(cours de première !)

y = f(a) + f '(a) (x-a)

Ici, il s'agit de la fonction exponentielle : f(x)=e^x, donc sa dérivée est f'(x)=e^x

L'équation de la tangente est donc :

y = e^a + e^a (x-a)

Cette tangente coupe l'axe des abscisses en un point tel que y=0. Il suffit donc de résoudre l'équation :

y = 0

D'où :

e^a + e^a (x-a)=0

D'où x=a-1

L'abscisse du point H est donc : x_H=a-1, et son ordonnée est y_H=0

La distance entre deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) est donnée par la formule :

d(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}  (formule apprise en seconde !)

Donc : HM=\sqrt{(x_H-x_M')^2+(y_H-y_M')^2}=\sqrt{(a-1-a)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(-1)^2+(0)^2}=\sqrt{1}=1

Cette distance HM=1 ne dépend donc pas du point M choisi au départ sur la courbe : elle est constante, toujours égale à 1 !

Je te conseille de revoir sérieusement de toute urgence tes cours de troisième, seconde et première. Car le BAC est dans 7 mois !

Enfin, c'est toi qui vois...

Posté par
djnny
re : comment montrer qu une distante est constante ? 23-11-09 à 21:22

suis nulle tu peu m aider ou pas ? à rattraper mes lacunes ?

Posté par
pythamede
re : comment montrer qu une distante est constante ? 23-11-09 à 22:44

Ben oui ! Je suis là pour ça, ainsi que tous les autres ! Si tu as des problèmes, pose-les ici, quelqu'un répondra, peut-être moi, peut-être quelqu'un d'autre !

Posté par
laurentz
re : comment montrer qu une distante est constante ? 21-10-12 à 13:30

j'arrive vraiment pas a comprend: C est la courbe representative de la fonction logarithme néperien dans un repere orthonormé.
a>0
M est le point de C  d'abscisse a
N est le point d'intersection de la tangente à C en M et de l'axe des coordonnés
P est le point de coordonnées (0;ln a)

MONTRER QUE POUR TOUT NOMBRE RÉEL a>0,LA DISTANCE PN EST CONSTANTE.



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