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Comment utiliser une équation paramétrique à deux inconnues?

Posté par
Delena
18-05-17 à 13:55

Bonjour,
Je m'exerce sur la géométrie vectorielle et voici un exercice qui me trouble un peu. Il y a deux inconnues dans l'équation paramétrique de mon plan et donc je n'arrive pas à l'utiliser.
Énoncé:
Le plan P a pour représentation paramétrique:
x= -2+t+s
y=-t+2s
z= 1+3t-s
avec t et s réels.
1) Précisez la position relative du plan P et du plan (O;i;j).
Déjà, je sais qu'il faudra dire que z=0 puisque la côte est nulle dans le plan (O;i;j) mais comment faire après?

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
Priam
re : Comment utiliser une équation paramétrique à deux inconnues 18-05-17 à 14:07

Les paramètres  t  et  s  des points du plan P dont la cote est nulle (z = 0) satisfont à la relation  1 + 3t - s = 0 .
En exprimant un paramètre en fonction de l'autre et en injectant le résultat dans les équations  x  et  y  du plan P, on obtient une représentation paramétrique de la droite intersection de ce plan et du plan (O; i; j).

Posté par
mathafou Moderateur
re : Comment utiliser une équation paramétrique à deux inconnues 18-05-17 à 14:23

Bonjour,
"la position relative" de deux plans est qu'ils sont parallèles ou bien confondus, ou bien sécants ou bien même orthogonaux
à mon avis telle qu'elle est posée, la question ne demande que de répondre à ça.

le plus intéressant là dedans est de considérer cette représentation sous l'aspect vectoriel

avec M (x; y; z) et A (-2; 0; 1), et les vecteurs (1; -1; 3) et (1; 2; -1)
on a (on peut lire l'ensemble des 3 relations sous la forme) vOM = vOA + t + s
c'est à dire que le plan est défini par le point A et deux vecteurs (issus de A) égaux à et .

avec un point (A) et deux vecteurs du plan il est "facile" de répondre à cette question ...
le point A fait il partie du plan (O; i; j) ?
les vecteurs et sont-ils parallèles au plan (O; i; j) ?

l'orthogonalité est équivalente à "ce plan est parallèle à Oz"
c'est à dire existe-t-il une combinaison linéaire de et qui soit parallèle à Oz ?
(une direction de droite du plan qui soit parallèle à la droite (Oz))

si on a vu le produit vectoriel c'est encore plus simple : le produit vectoriel ^ est un vecteur orthogonal au plan
est il parallèle au plan (O; i; j) ?

ceci dit si les plans sont sécants, l'équation de leur droite d'intersection s'obtient bien comme dit Priam.

Posté par
Delena
re : Comment utiliser une équation paramétrique à deux inconnues 18-05-17 à 14:34

Ah oui je vois! Merci beaucoup



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