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comparaison dans IR

Posté par
tournaud 02-08-15 à 19:38

Bonsoir chers amis.De l'aide SVP


Enoncé: Comparer les réels suivants: 17 + 32 et 4 + 19





MERCI D'AVANCE

Posté par
gougnafierre : comparaison dans IR 02-08-15 à 19:44

Bonjour,

Ce sont deux nombres positifs, et on sait que deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre de grandeur que leurs carrés.
Donc tu peux comparer leurs carrés.

Posté par
tournaudre : comparaison dans IR 03-08-15 à 00:56

je lai fait mais toujours impossible. Essaye voir

Posté par
Cherchellre : comparaison dans IR 03-08-15 à 06:45

(\sqrt{17}+3\sqrt{2})^2=17+9\times2+2\times3\times\sqrt{17}\times\sqrt{2}=35+6\times\sqrt{34}

(4+\sqrt{19})^2=16+19+2\times4\times\sqrt{19}=35+8\times\sqrt{19}

donc pour comparer les deux expressions, il faut comparer 6\sqrt{34} et 8\sqrt{19} ou encore comparer 3\sqrt{34} et 4\sqrt{19}

Ces deux nombres étant positifs, ils sont rangés dans le même ordre que leurs carrés, il faut donc comparer (3\sqrt{34})^2 et (4\sqrt{19})^2

soit comparer 9 34 et 16 19 or 306 > 144 donc  (3\sqrt{34})^2\geq(4\sqrt{19})^2

donc 3\sqrt{34}\geq4\sqrt{19} donc (\sqrt{17}+3\sqrt{2})^2\geq(4+\sqrt{19})^2 donc \sqrt{17}+3\sqrt{2}\geq4+\sqrt{19}

Posté par
tournaudre : comparaison dans IR 03-08-15 à 08:38

merci beaucoup Cherchell. C'est gentil d'avoir prit ton temps pour  m'expliquer.

Posté par
gougnafierre : comparaison dans IR 03-08-15 à 10:53

Autre méthode (très ressemblante à la précédente):

3\sqrt{2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = \sqrt{18} \\ 4 = \sqrt{16} \\ \\ Donc (\sqrt{17} + 3 \sqrt{2})² = (\sqrt{17} + \sqrt{18})²= 17 + 2 \sqrt{17\times18} + 18= 35 + 2\sqrt {306} \\ \\ (4+\sqrt{19})²= (\sqrt{16}+\sqrt{19})² = 16 +2\sqrt{16\times19}+19=35 + 2\sqrt{304} \\ \\ 306\ge 304  donc  \sqrt{306} \ge \sqrt{304}
car deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre de grandeur que leurs racines carrées

Donc 2\sqrt{306} \ge 2\sqrt{304}, donc 35 + 2\sqrt{306} \ge 35 + 2\sqrt{304}

Donc (\sqrt{17} + 3 \sqrt{2})²\ge (4+\sqrt{19})²

Donc \sqrt{(\sqrt{17} + 3 \sqrt{2})²}\ge \sqrt {(4+\sqrt{19})²}, car deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre de grandeur que leurs racines carrées

Donc \sqrt{17} + 3 \sqrt{2}\ge 4+\sqrt{19}

Posté par
tournaudre : comparaison dans IR 03-08-15 à 18:25

merci encore


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