Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Comparaison de vitesse de convergence de différents estimateurs

Posté par
fsqdfc 20-04-20 à 16:34

Bonjour,
J'ai un exercice à faire sur la méthode de Montecarlo où à chaque question je trouve un estimateur différent (j'ai dû calculer la variance pour chaque estimateur). Il me manque la dernière question : il me faut créer un algorithme qui compare la vitesse de convergence de ces estimateurs. Pouvez-vous m'aider ?
Merci

Posté par re : Comparaison de vitesse de convergence de différents estimat 20-04-20 à 19:33

salut

difficile sans énoncé ...

Posté par re : Comparaison de vitesse de convergence de différents estimat 21-04-20 à 09:39

Pardon, le voici :

$\begin{array}{l}\text { Probabilités de dépassement d'une Cauchy : } \\ \text { Supposons que nous souhaitions estimer la probabilité qu'une variable aléatoire } X \sim \text { Cauchy }(0,1) \\ \text { soit plus grande que } 2, \text { i.e., } \\ \qquad I=P(X \geq 2)=\int_{2}^{\infty}\left\{\pi\left(1+x^{2}\right)\right\}^{-1} \mathrm{d} x=-\frac{\arctan 2}{\pi}+\frac{1}{2} \approx 0.15 \\ \text { a) Trouver un estimateur basique par Monte-Carlo pour } I \text { et déterminer sa variance. } \\ \text { b) Trouver un estimateur antithétique (simple) pour } I \text { et déterminer sa variance. } \\ \text { c) Montrer que } \\ \qquad \hat{I}_{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{2}{\pi\left(1+X_{i}^{2}\right)}, \quad X_{i} \stackrel{\text { id }}{\sim} U(0,2)\end{array} \\ \begin{array}{l}\text { d) Faire de même pour l'estimateur } \\ \qquad \hat{I}_{4}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left\{\frac{1}{2 \pi\left(1+X^{2}\right)}\right\}, \quad X_{1}, \ldots, X_{n} \stackrel{\text { iid }}{\sim} U(0,1 / 2)\end{array} \\ \begin{array}{l}\text { e) Ecrire un code } \mathrm{R} \text { (ou simplement l'algorithme) permettant de comparer la vitesse de convergence } \\ \text { des ces } 4 \text { estimateurs.}\end{array} \\$

Alors voilà j'ai fais toutes les questions, il me manque juste la e...
Merci pour votre aide

Posté par re : Comparaison de vitesse de convergence de différents estimat 21-04-20 à 10:19

je vais rester théorique parce que par exemple je ne sais pas ce qu'est un estimateur antithétique

tu cherches une approximation de I = P(X > 2)

la méthode de MC permet une approximation de cette aire en prenant n points (ou des VA suivant une certaine distribution comme pour I_3 et I_4) distribués suivant la loi Cauchy et "de même" pour les autres estimateurs

à partir de ces approximations a et b, c e t d qui dépendent de n on "constate" que certaines tendent plus ou moins vite vers la valeur théorique I

donc il faut écrire un algo (je ne connais pas R) qui demande en entrée n et te sort ces quatre valeurs approchées a, b, c, et d et même |T - a|, ..., |T - d| ce qui te permet de savoir laquelle est la plus ... mieux meilleure ...

Posté par re : Comparaison de vitesse de convergence de différents estimat 21-04-20 à 10:59

Merci beaucoup pour ta réponse, et je voulais te demander car j'y ai réfléchi : l'algorithme ne ressortirait-il pas la variance minimale entre ces 4 estimateurs ? car plus la variance est petite plus l'estimateur est efficace donc converge plus rapidement vers I ?

Posté par re : Comparaison de vitesse de convergence de différents estimat 21-04-20 à 11:04

effectivement la variance est une mesure de dispersion donc traduit dans une certaine mesure le fait d'être proche ou non du résultat théorique ... et l'avantage c'est qu'il ne nécessite uniquement que les valeurs expérimentales et pas la valeur théorique ...

PS : au fait dans les questions 3 et 4 il faut montrer quoi exactement ? qui sont I_3 et I_4 ?