bonjour

les deux membres sont positifs :

(x/Vy +y/Vx )² > (Vx + Vy)²

x²/y + 2V(x.y) + y²/x > x + y +2V(x.y)

x^3 + y^3 > x²y + y²x

x²(x-y)+y²(y-x) > 0

(x-y)(x²-y²) > 0

(x-y)(x-y)(x+y) > 0

(x+y)(x-y)² > 0

remarquons que c'est toujours vrai et qu'on peut même avoir l'égalité si x=y

pour tous x,y positifs

Rudy

merci pour ta réponse , on peut démontrer dès le début que (x+y)(x-y)² > 0 car x+y > 0 et ( x-y )² > 0 avec ça on peut facilement résoudre l'éxercice

qu'entends-tu par "dès le début" ?

donne ton développement

RUdy

ON sait que x+y > 0 car x et y sont des nombres positif
( x - y )² > 0
donc ( x+y )(x-y)² > 0

2- démontrons que : x/y² + y/x² > 1/x + 1/y

la méthode la plus simple pour ça c'est la soustraction
x/y² + y/x² - ( 1/x + 1/y ) = ( x^3 + y^3 )/x²y² - y - x /xy = [ xy(x^3 + y^3 ) - x²y²( y+x ) ] / x^3y^3
il suffit de démontrer maintenant que ça : xy(x^3 + y^3 ) - x²y²( y+x ) c'est à dire : x^4y + xy^4 - x^2y^3 - x^3y^2 est supérieur à 0


on a démontré plus haut que (x+y)(x-y)² >0
donc ( x+y ) ( x² -2xy + y² )>0
donc (x+y)(x²-2xy+y²)(xy) >0
en simplifiant on aura donc x^4y + xy^4 - x^2y^3 - x^3y^2 > 0

donc
x/y² + y/x² > 1/x + 1/y