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Comparer 1/a+b et 1/a + 1/b
Je n'ai aucune idée du chapitre, on fait toujours les DM avant la leçon...
Donc voilà :
Soient a et b deux nombres non nuls de même signe
Comparer les nombres A=1/a + 1/b et B=1/a+b
Conjecture : Si a et b > 0, alors A>B
Si a et b < 0, alors A<B
J'ai essayé de multiples choses, je vous met les plus concluantes...
A-B = a+b/ab - 1/a+b
= (a+b)²-ab/ab(a+b)
= a²+ab+b²/ab(a+b)
= a²+ab+b²/ba²+ab²
____
A/B =(1/a + 1/b)(a+b)
= (a+b)²/ab
= a2+2ab+b²/ab
____
A²-B² :
A² = (1/a)² + 2(1/a)(1/b) + (1/b)²
= 1/a² + 2/ab +1/b²
= (abb²+2a²b²+baa²)/aa²bb²
= a(bb²+2ab²+ba²)/aa²bb²
= bb²+ab²+ba²/a²bb²
= b(b²+2ab+a²)/ba²b²
= b²+2ab+a²/a²b²
= (a+b)²/(ab)²
B² = 1/(a+b)²
= 1/a²+2ab+b²
A²-B² = [(a+b)²]²/ab
OU = (a²+2ab+b²)²/ab
Voilà... J'espère que quelqu'un pourra m'aider...
A=1/a + 1/b et B=1/(a+b)
A - B = 1/a + 1/b - 1/(a+b)
A - B = (b+a)/(ab) - 1/(a+b)
A - B = [(b+a)(a+b) - ab]/[(ab).(a+b)]
A - B = (a²+b²+ab)/[(ab).(a+b)]
A - B = (a²+b²-2ab+3ab)/[(ab).(a+b)]
A - B = [(a-b)²+3ab]/[(ab).(a+b)]
(a-b)²>= 0 puisque c'est un carré.
ab > 0 puisque a et b sont de même signe.
--> [(a-b)²+3ab]/(ab) > 0
Et donc A - B a le signe de (a+b)
a+b < 0 si a et b sont < 0
a+b > 0 si a et b sont > 0
-->
A - B < 0 si a et b sont < 0
A - B > 0 si a et b sont > 0
soit
A < B si a et b sont < 0
A > B si a et b sont > 0
-----
Sauf distraction. 
wolééé
je suis lar-guée
Comment passe-t-on de A - B = [(a-b)²+3ab]/[(ab).(a+b)] à A - B a le signe de (a+b) ?
En tout cas merci beaucoup !
A - B = [(a-b)²+3ab]/[(ab).(a+b)]
Ensuite j'ai montré que ((a-b)²+3ab) était > 0
et que ab était positif -->
Le rapport de 2 quantités strictement positives est strictement positif et donc:
[(a-b)²+3ab]/(ab) > 0
On a donc :
A - B = (Quelque chose de > 0)/(a+b)
--> A-B a le signe de (a+b)
OK ?
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