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Complexe

Posté par
Boudichsiwar
21-11-20 à 19:10

Bonjour ,
Soit l'equation E :  (iz+1)³ =(z+i)³
Montrer que si z est une solution  alors z est reel

**forum mis en adéquation avec le profil**

Posté par
carpediem
re : Complexe 21-11-20 à 20:44

salut

iz + 1 = i(z - i) ...

Posté par
co11
re : Complexe 21-11-20 à 23:31

Bonsoir,
je suis un peu perplexe, l'équation est facile à résoudre, même avec l'expression de départ. Et les solutions sont réelles .....
Je ne sais trop ce qui est attendu.

Posté par
carpediem
re : Complexe 22-11-20 à 08:39

salut co11 : quand je vois les difficultés de mes élèves de Term en Math Expertes c'est une question "bateau" qui ne l'est pas pour eux !!!

on peut factoriser (avec tout dans le même membre) mais c'est bien difficile pour eux avec du degré 2 alors du degré 3

on peut tout développer et (éventuellement) poser z = a + ib mais que c'est difficile aussi pour eux ... (c'est fort probablement ce qui est demandé ...)

Posté par
Boudichsiwar
re : Complexe 22-11-20 à 10:29

Mais il ne faut pas la resoudre car puis m'a  dit resoudre cette equation  
J'ai deja fait cette question j'ai met bar sur toute l'equation puis j'ai trouvé que z bar aussi une solution

Posté par
carpediem
re : Complexe 22-11-20 à 11:48

si z est imaginaire pur alors z = ia avec a réel

donc (iz + 1)^3 = (z - i)^3 \iff i (a - 1)^3i^3 = (a + 1)i^3 ce qui est absurde ...

donc par contraposée ...

mais bon ce n'est pas suffisant car la négation de z est imaginaire pur n'est pas z est réel

par contre en passant au conjugué on obtient (en notant z* le conjugué) :

i(z - i)^3 = (z + i)^3 \iff -i (z^* + i)^3 = (z^* - i)^3 \iff i(z^* - i)^3 = (z^* + i)^3

donc effectivement si z est solution alors z* est solution

mais je ne vois comment conclure proprement que z est réel ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Complexe 22-11-20 à 12:31

Bonjour,
C'est tordu, mais ça correspond peut-être à ce qui est demandé :
En utilisant le \; iz + 1 = i(z - i) \; de carpediem, on peut démontrer \; |z-i| = |z+i| .
Une médiatrice fait alors l'affaire.

Posté par
carpediem
re : Complexe 22-11-20 à 12:55

ha oui !!! bien vu ...

et je ne trouve pas ça tordu ... plutôt une utilisation efficace de l'interprétation géométrique (du module) d'un nombre complexe

la question restante est donc : peut-on le faire tout aussi "efficacement" de façon algébrique sans interprétation géométrique ?

Posté par
lake
re : Complexe 22-11-20 à 14:02

Bonjour,

Algébriquement, on passe aux modules dans l'équation (E):

  (iz+1)(-i\bar{z}+1)=(z+i)(\bar{z}-i)

   qui donne z=\bar{z}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Complexe 22-11-20 à 16:43

ha oui !!! bien vu ...
Mais franchement, poser cette question pour une équation de degré 3 qui a une solution qui crève les yeux, c'est très artificiel.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Complexe 22-11-20 à 17:16

Remplacer l'exposant 3 par 4 ou 5 par exemple.

Posté par
co11
re : Complexe 22-11-20 à 21:11

Je retire ce que j'ai écrit hier, j'avais lu un carré au lieu d'un cube.
Désolée .... je reregarde.

Posté par
co11
re : Complexe 22-11-20 à 21:24

Oh la, mes lunettes deviennent insuffisantes. Je n'arrive pas à lire correctement les exposants.

Posté par
co11
re : Complexe 23-11-20 à 11:16

Bon, ce sont bien des cubes.
Effectivement, en passant aux modules, même avec forme algébrique, on y arrive.
Mais je reste perplexe sur l'intérêt de cet exercice . Peut-être l'énoncé est-il incomplet ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Complexe 23-11-20 à 11:23

Oui co11, l'énoncé est incomplet :

Citation :
Mais il ne faut pas la resoudre car puis m'a dit resoudre cette equation
Je comprends que la question suivante est de résoudre l'équation.

Avec un exposant 6, ça aurait pu être plus intéressant.
Ou même 12

Posté par
co11
re : Complexe 23-11-20 à 22:27

Oui, pourquoi pas....

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