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Niveau Maths sup
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complexe+Arithmetique

Posté par
chercheuse 11-12-07 à 23:25

Bonjour
Povez vous m'aider a resoudre cet exercice
1) Calculer sous la forme x+iy ou x et y sont des
nombres
reels, les nombres complexes z tels que z^{2}+4=0
2) Calculer les racines quatriemes de i. En deduire
\cos\frac{\pi}{8} et \sin\frac{\pi}{8}
3)i)Démontrer que \forall \,n\in\N^*\,, pgcd(a,b)=\delta\;\Rightarrow\;pgcd(a^n,b^n)=\delta^n
En déduire que si a^n devise b^n, alors a devise b
Merci beaucoup.
                                                   .

Posté par
Nightmarere : complexe+Arithmetique 11-12-07 à 23:30

Bonsoir

Tu dois bien arriver la 1) quand même...

z²+4=(z+2i)(z-2i)
Donc les racines de z²+4 sont 2i et -2i

2) ce sont les 3$\rm e^{\frac{2ki\pi}{4}} avec k dans {0,1,2,3}

Posté par
chercheusere : complexe+Arithmetique 30-12-07 à 15:33

Bonjour,
Les racines quatrièmes de i sont les e^i(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}), k\in\{0,1,2,3\}
z_{0}=\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}
z_{1}=\cos \frac{5\pi}{8}+i \sin \frac{5\pi}{8}
z_{2}=\cos \frac{9\pi}{8}+i \sin \frac{9\pi}{8}
z_{3}=\cos \frac{13\pi}{8}+i \sin \frac{13\pi}{8}
Mais comment on determine \cos \frac{\pi}{8} et \sin \frac{\pi}{8}

Merci d'avance.


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