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Niveau Maths sup
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Complexe, SUP

Posté par mathrb (invité) 13-09-05 à 19:32

Bonjour,
Là j'avoue que je ne sais par où commencer

Soit n Є N* et Cn=Σ    (1/2k)cos(kp/3)
                              K=1

Montrer que Cn=(1/(2n(racine)3))sin(np/3)

(2 puissance n) multiplier par racine de 3 :en toute lettres

Merci

Posté par
Victorre : Complexe, SUP 13-09-05 à 19:44

Ton message est difficilement lisible.
Tu peux par exemple essayer de démontrer ce résultat par récurrence sur n.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Complexe, SUP 13-09-05 à 21:18

mathrb,ce n'est pas plutot \fbox{C_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{cos(\frac{k\pi}{3})}{2^k}} si c'est ça fais comme t'as dit Victor (Modérateur).

Posté par mathrb (invité)re : Complexe, SUP 13-09-05 à 21:55

oui c'est ça mais comment faites vous pour réussir à écrire ça?

Posté par
Laurieriere : Complexe, SUP 13-09-05 à 21:55

Je pense que c'est effectivement ce que Elhor a ecrit.
Si oui, ecrit ton cosinus sous la forme exponentielle, en disant que c'est la partie réelle,
c'est a dire cos(kp/3)=Re e^(ikp/3).

Tu mets tout à la puissance k afin de faire apparaitre les termes d'une somme géométrique puis tu appliques la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique. Dévellopes ton résultat de facon a bien distinguer la partie réelle et la partie imaginaire.

Pour terminer tu dis que Cn= Partie réelle de ton résultats.

Désolé pour cet explication peu pertinente,je ne maitrise pas le Latex.
Si tu as des questions n'hésites pas

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Complexe, SUP 14-09-05 à 00:45

*C'est vrai pour n=1 puisque:
\fbox{C_1=\frac{cos(\frac{\pi}{3})}{2}=\frac{sin(\frac{\pi}{3})}{2sqrt3}=\frac{1}{4}}.
*supposons alors que la propriété:
\fbox{C_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{cos(\frac{k\pi}{3})}{2^k}=\frac{sin(\frac{n\pi}{3})}{2^{n}sqrt3}} est vraie pour un certain n\ge1 et voyons ce qu'il en est pour C_{n+1}.
on peut alors écrire en utilisant cette hypothése que:
\fbox{C_{n+1}=\Bigsum_{k=1}^{n+1}\frac{cos(\frac{k\pi}{3})}{2^k}=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{cos(\frac{k\pi}{3})}{2^k}+\frac{cos(\frac{(n+1)\pi}{3})}{2^{n+1}}=\frac{sin(\frac{n\pi}{3})}{2^{n}sqrt3}+\frac{cos(\frac{(n+1)\pi}{3})}{2^{n+1}}} c'est à dire que:
\fbox{C_{n+1}=\frac{sin(\frac{n\pi}{3})}{2^{n}sqrt3}+\frac{cos(\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{3})}{2^{n+1}}=\frac{sin(\frac{n\pi}{3})}{2^{n}sqrt3}+\frac{cos(\frac{n\pi}{3})cos(\frac{\pi}{3})-sin(\frac{n\pi}{3})sin(\frac{\pi}{3})}{2^{n+1}}=\frac{2sin(\frac{n\pi}{3})+sqrt{3}[cos(\frac{n\pi}{3})\frac{1}{2}-sin(\frac{n\pi}{3})\frac{sqrt3}{2}]}{2^{n+1}sqrt3}} ou encore que:
\fbox{C_{n+1}=\frac{sin(\frac{n\pi}{3})\frac{1}{2}+cos(\frac{n\pi}{3})\frac{sqrt3}{2}}{2^{n+1}sqrt3}=\frac{sin(\frac{n\pi}{3})cos(\frac{\pi}{3})+cos(\frac{n\pi}{3})sin(\frac{\pi}{3})}{2^{n+1}sqrt3}=\frac{sin(\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{3})}{2^{n+1}sqrt3}=\frac{sin(\frac{(n+1)\pi}{3})}{2^{n+1}sqrt3}}
la propriété reste donc vraie pour n+1
Conclusion:
3$\blue\fbox{\forall n\ge1\\ \Bigsum_{k=1}^{n}\frac{cos(\frac{k\pi}{3})}{2^k}=\frac{sin(\frac{n\pi}{3})}{2^{n}sqrt3}}
Sauf erreur bien entendu

Posté par mathrb (invité)re : Complexe, SUP 14-09-05 à 15:42

Alors là je dis chapeau et un grand merci,je ne pense que j'aurais pu y arriver tout seul,je me demande même comment on peut réussir à faire ça!!
Merci

Posté par mathrb (invité)re : Complexe, SUP 14-09-05 à 16:36

Bonjour
Aîe,la suite n'est pas si simple que je pensais,parce que je pense que la récurrence est à proscrire

calculer de même Sn=(nn=1)(1/2k)sin(k(/3)

l'indication dit: considérer Cn+iSn
merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Complexe, SUP 15-09-05 à 01:47

Oui mathrb,mais je crois qu'on peut s'en sortir sans faire appel aux complexes et en utilisant juste le résultat précédent à savoir que:
3$\fbox{\forall n\ge1\\ \Bigsum_{k=1}^{k=n}\frac{cos(\frac{k\pi}{3})}{2^k}=\frac{sin(\frac{n\pi}{3})}{2^{n}sqrt3}}
je te donne une indication et à toi de jouer:
3$\fbox{\frac{1}{2}C_n-\frac{sqrt3}{2}S_n=\Bigsum_{k=1}^{k=n} \frac{\frac{1}{2}cos(\frac{k\pi}{3})-\frac{sqrt3}{2}sin(\frac{k\pi}{3})}{2^n}=...}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Complexe, SUP 16-09-05 à 01:21

Apparamment,tu n'as pas su exploiter l'indication:
\fbox{\frac{1}{2}C_n-\frac{sqrt3}{2}S_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{cos(\frac{(k+1)\pi}{3})}{2^k}} et avec un petit changement d'indice k=k+1:
\fbox{\frac{1}{2}C_n-\frac{sqrt3}{2}S_n=\Bigsum_{k=2}^{n+1}\frac{cos(\frac{k\pi}{3})}{2^{k-1}}=2\Bigsum_{k=2}^{n+1}\frac{cos(\frac{k\pi}{3})}{2^k}=2(C_{n+1}-\frac{1}{4})=2C_{n+1}-\frac{1}{2}} d'où:
\fbox{S_n=\frac{1}{sqrt3}(1+C_n-4C_{n+1})=\frac{1}{sqrt3}(1+\frac{sin(\frac{n\pi}{3})}{2^{n}sqrt3}-4\frac{sin(\frac{(n+1)\pi}{3})}{2^{n+1}sqrt3})} aprés simplification on trouve:
3$\blue\fbox{\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{sin(\frac{k\pi}{3})}{2^k}=\frac{1}{sqrt3}(1-\frac{cos(\frac{n\pi}{3})}{2^n})}
Sauf erreur bien entendu


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