Inscription / Connexion Nouveau Sujet
complexes
bonjour !! 
quelle joie que le forum soit de nouveau ouvert !!!
cela dit je comprend tres bien les raisons pour lesquelles il a été fermé...
voila jai un pti exo de DM sur les complexes et je ne m'en sors pas
trop... :
On pose P(z) = z^4-3z³+(9/2)z²-3z+1
1) Démontrer que si le complexe 
est solution de l'équation
P(z) = 0, il en est de même de (barre) et 1/.
ca c'est bon
2)Calculez P(1+i)
Déduisez alors la résolution de l'équation P(z) = 0.
je trouve P(1+i) = -9 (surement incohérent) et je n'arrive pas
à résoudre P(z) = 0
3)Ecrivez P(z) sous forme d'un produit de deux polynomes du second degré,
à coefficients réels.
je n'y arrive pas du tout... 
Merci à celui ou celle qui m'aidera...
a+
- Question 2 -
Pour le calcul de P(1+i), je trouve bien égal à 0 
. Voici le détail
:
P(1+i) = (1+i)4 -3(1+i)³+(9/2)(1+i)²-3(1+i)+1
= 1+4i+6i²+4i3+i4-3(1+3i+3i²+i3)+(9/2)(1+2i+i²)-3-3i+1
= 1+4i-6-4i+1-3-9i+9+3i+9/2+9i-9/2-3-3i+1
=0
On en déduit donc que 1+i est racine du polynôme P, donc d'après
la question précédente, 1-i et 1/(1+i) sont aussi racines du polynôme.
1/(1+i) = 1/2 - i/2
Mais 1/2 - i/2 étant racine du polynôme, alors toujours d'après la
première question, 1/2 + i/2 est aussi racine du polynôme.
On a donc résolu l'équation P(z) = 0.
Les solutions sont au nombre de quatre :
S = {1+i; 1-i; 1/2 - i/2; 1/2+i/2}
Donc :
P(z) = (z - 1 - i)(z - 1 + i)(z - 1/2 + i/2)(z - 1/2 - i/2)
- Question 3 -
P(z) = (z - 1 - i)(z - 1 + i)(z - 1/2 + i/2)(z - 1/2 - i/2)
En développant simplement les deux premiers facteurs, on fait apparaître
un polynôme du second degré à coefficients réels (car 1+i et 1-i
sont conjuguées).
On obtient alors :
P(z) = (z - 1 - i)(z - 1 + i)(z - 1/2 + i/2)(z - 1/2 - i/2)
= [z² - (1-i)z - (1+i)z + (1+i)(1-i)][z²-(1/2+i/2)z-(1/2-i/2)z+(1/2-i/2)(1/2+i/2)]
= (z² - 2z + 2)(z² - z + 1/2)
Voilà, bon courage ...
Annuler
connectez vous