bonsoir
"Zn+1 = 1/2(1+i)Zn"

peut tu mettre plus de parenthèse que l'on sache exactement ce que vaut Z_n+1 ?

Z(n+1) = (1/2)*(1+i)Zn

ok
ce que tu peux faire pour avoir une idée c'est trouver tes points M0, M1, M2,...
ensuite on te dis que |z_n| est géométrique donc tu vas chercher à trouver |z_n+1|/|z_n|= constante.
Sachant que |z.z'|=|z|.|z'| si je ne m'abuse.....

bonjour

1) |Z(n+1)|=|(1/2)(1+i)|.|Zn|=(V2/2)|Zn| donc (|Zn|) est une suite géométrique de raison V2/2. et de premier terme |Z0|=1

2)
arg(Z(n+1))=arg((1/2)(1+i)Zn) (2Pi)
           =arg(1+i)+arg(Zn) (2Pi)
           =Pi/4+arg(Zn) (2Pi)
donc la suite arg(Zn) est une suite arithmétique de raison Pi/4 et de premier terme arg(Z0)=0 (2Pi)
donc
arg(Zn)=nPi/4 (2Pi)

3)(M(n+1)O;M(n+1)Mn)=arg(Zn-Z(n+1)/(-Z(n+1))=arg(Z(n+1)-Zn)/Z(n+1)) (2Pi)

z(n+1)-Zn=(1/2)(1+i)Zn-Zn
         =(1/2+i/2-1)Zn
         =(-1/2+i/2)Zn
         =(1/2)(-1+i)Zn
donc
(Z(n+1)-Zn)/Z(n+1)=(1/2)(-1+i)Zn/(1/2)(1+i)Zn=(-1+i)/(1+i)=(-1+i)(1-i)/2=-(1-i)²/2=i

donc arg((Z(n+1)-Zn)/Z(n+1))=Pi/2 (2Pi)
donc
(M(n+1)O;M(n+1)Mn)= Pi/2 (2Pi)

donc les triangles OMnM(n+1)sont rectangles en M(n+1)

Super! Merci beaucoup!
En ce qui concerne la condition suffisante et necessaire du 2) Pour que Mn appartienne a l'axe des reels, c'est que n soit different de 0 et de 4 ?

ah oui et pour la question 1) je n'ai pas compris comment on passait de |(1/2)(1+i)| a v2/2 ?
Pourriez vous m'expliquer? Que represente v?

Mn appartient à l'axe des réels ssi nPi/4=kPi avec k élément de Z
                                ssi n=4k
donc ssi n est multiple de 4.

|(1/2)(1+i)|=(1/2)|1+i|
            =(1/2)V(1²+1²)
            =V2/2

Compris! Merci!

v2/2 est en fait racine de 2, divisé par 2

|(1/2)(1+i)| = |1/2|.|1+i| (qui vaut racine de (1 au carré + 1 au carré))