Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Comportement d'une suite

Posté par
inesto04
16-10-21 à 16:09

Bonjour, je vous solicite car je rencontre des difficultés à réaliser l'exercice suivant :

Soit une fonction f(x) = 3 - (4/(x + 1)
On considère la suite définie pour tout entier naturel par :
U0 = 4 et Un+1 =  3 - (4/(Un + 1)

On établit comme conjecture que la suite est décroissante.

Après avoir démontré par récurrence que Un ≥1 pour tout entier naturel, on montrera que la fonction f est croissante sur [0 ; +∞ [.

En déduire que pour tout n on a Un+1 ≤ Un.

Je n'ai pas eu de soucis à réaliser la démonstration par récurrence de même que l'étude de la fonction.  Néanmoins, je n'arrive pas à déduire.  Je sais que le minorant de Un est 1 et que la fonction est croissante, mais à partir de là, je suis bloquée.  J'aurais pu faire un raisonnement par récurrence pour la dernière partie de l'exercice mais la consigne stipule bien une déduction...

Je vous remercie d'avance

Posté par
carpediem
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:24

salut

si f est croissante alors : si a < b alors f(a) < f(b)

il suffit de poser a = u_{n + 1} $ et $ b = u_n

et alors f(a) = ... et f(b) = ...

...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:28

Bonjour,
Je vois que tu es nouveau, bienvenue sur l'

Une déduction signifie qu'il faut utiliser ce qui précède.
Ça ne signifie pas qu'il est interdit d'utiliser aussi autre chose.
Tu peux donc faire une récurrence.
Mais si tu n'utilises à aucun moment le sens de variation de f, tu peux avoir un doute.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:28

Bonjour carpediem

Posté par
hekla
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:29

Bonjour

Avez-vous calculé f(u_n)-u_n ?

Posté par
carpediem
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:29

salut Sylvieg

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:35


hekla
Oui, c'est ce que j'ai fait.  Mais, je n'ai pas utilisé la notion de croissance de la fonction, donc je ne pense pas que ce soit correct, vu que c'est une déduction...

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:38

carpediem
Oui, mais à quel moment est-ce que j'introduirai la notion de Un minoirée par 1 ?

Posté par
carpediem
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:40

hekla @ 16-10-2021 à 16:29

Bonjour

Avez-vous calculé f(u_n)-u_n ?
ne permet pas d'utiliser ce qui précède ...

voir le msg de Sylvieg

Posté par
hekla
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:41

f(u_n)-u_n=\dfrac{-(u_n-1)^2}{u_n+1}

Comme on a montré que u_n \geqslant 1\  f(un)-u_n\leqslant 0

Posté par
carpediem
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:42

inesto04 @ 16-10-2021 à 16:38

carpediem
Oui, mais à quel moment est-ce que j'introduirai la notion de Un minoirée par 1 ?
sans intérêt ...

et pour compléter le msg de Sylvieg : déduire signifie utiliser ce qui précède ... mais peut-être pas tout !!!

d'autre part je suis persuadé que tu n'as pas donné l'énoncé exact et complet ...

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:45

J'ai calculé Un+1 - Un.
Puis je suis partie de Un ≥ 1 et par une suite d'opérations, je suis parvenu à obtenir : le résultat précédant ≤ 0.  Ainsi, Un+1 - Un ≤ 0.
Sauf que je n'ai pas utilisé le sens de variation de f.

Posté par
carpediem
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:50

inesto04 @ 16-10-2021 à 16:09

On établit comme conjecture que la suite est décroissante.
donc l'hypothèse de récurrence est P(n)  :  u_{n + 1}\le u_n

or f est croissante donc ...

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:52

carpediem
Oui, mais à quel moment est-ce que j'introduirai la notion de Un minoirée par 1 ?carpediemcarpediemcarpediem

carpediem @ 16-10-2021 à 16:24

salut

si f est croissante alors : si a < b alors f(a) < f(b)

il suffit de poser a = u_{n + 1} $ et $ b = u_n

et alors f(a) = ... et f(b) = ...


...


Donc selon vous, je n'ai qu'à faire un raisonnement par récurrence classique, en disant que comme la fonction est croissante, l'ordre est conservé et donc (Un) est bien décroissante ? Sans utiliser : Un ≥1 ?

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 16:53

carpediemcarpediem

carpediem @ 16-10-2021 à 16:50

inesto04 @ 16-10-2021 à 16:09

On établit comme conjecture que la suite est décroissante.
donc l'hypothèse de récurrence est P(n)  :  u_{n + 1}\le u_n

or f est croissante donc ...


merci beaucoup !!

Posté par
carpediem
re : Comportement d'une suite 16-10-21 à 17:15

à toi de finir correctement bien sûr ... (si tu veux nous montrer)

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 08:28

Je reviens vers vous car j'ai questionné mon professeur qui m'a affirmé que je devais utiliser le minorant et le fait que la fonction soit croissante dans ma réponse, par le biais d'un raisonnement par récurrence...  Donc, je suis toujours aussi perdue au final.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 08:57

Bonjour,
Tu utilises le minorant sans t'en rendre compte :
La fonction f est croissante sur un certain intervalle.
Dans l'hérédité, tu utilises quelque part le fait que les termes de la suite sont dans cet intervalle.

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 09:04

Sylvieg
Est-ce que je dois poser 1≤Un+1≤Un comme propriété ?

Donc dans l'hérédité j'écrirais : f(1)≤f(Un+1)≤f(Un) car la fonction f est croissante sur [0;+∞[ et conserve donc l'ordre.
Ainsi, 1≤Un+2≤Un+1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 09:14

Tu pourrais faire comme ça si tu n'avais pas démontré auparavant que la suite est minorée par 1.
En utilisant f(1) = 1.
Tu redémontrerais que la suite est minorée par 1.
Or l'énoncé demande que tu le démontres en premier.

Je te conseille plutôt de conserver un+1 un ; et de précier que un et un+1 sont dans [0;+[ d'après la minoration démontée auparavant.

Attends peut-être le retour de carpediem pour voir son avis

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 09:18

Un conseil en attendant :
Tu as des boutons sous la zone de saisie. Tu pourras les explorer.

Comportement d\'une suite

Le bouton "X2" permet de mettre en indice.
Le bouton "" permet d'avoir "" par exemple.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 09:38

Sylvieg
Merci bien !!

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 09:44

Sylvieg @ 17-10-2021 à 09:14

Tu pourrais faire comme ça si tu n'avais pas démontré auparavant que la suite est minorée par 1.
En utilisant f(1) = 1.
Tu redémontrerais que la suite est minorée par 1.
Or l'énoncé demande que tu le démontres en premier.

Je te conseille plutôt de conserver un+1 un ; et de précier que un et un+1 sont dans [0;+[ d'après la minoration démontée auparavant.

Attends peut-être le retour de carpediem pour voir son avis


Comment est-ce que je l'integrerai à mon raisonnement ? Par une phrase, en disant que comme Un≥ 1 et donc que Un+1≥1, alors je peux utiliser la fonction f qui est définie sur [0;+∞[ ? (je suis vraiment navrée, mais c'est tout nouveau pour moi)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 09:56

alors je peux utiliser le sens de variation de la fonction f sur [0;+∞[

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 10:16

Sylvieg
Merci infiniment

Posté par
carpediem
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 10:28

carpediem @ 16-10-2021 à 16:50

inesto04 @ 16-10-2021 à 16:09

On établit comme conjecture que la suite est décroissante.
donc l'hypothèse de récurrence est P(n)  :  u_{n + 1}\le u_n

or f est croissante donc ...
f(u_{n + 1}) \le f(u_n) \iff u_{n + 2} \le u_{n + 1} donc P(n + 1) est vraie

je n'utilise que la décroissance de f sans préciser où je travaille ... (c'est à dire que je travaille "là où il faut travailler" donc sur l'intervalle adéquat ... mais ça c'est sous-entendu !!!)

le fait que l'intervalle de travail soit stable par f (u_n est minoré par 1) sert très certainement dans la suite de ton pb pour montrer que la suite est convergente !!!

Posté par
inesto04
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 10:40

* Modération > Citation inutile effacée. *

L'exercice s'arrête ici...

Posté par
carpediem
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 10:47

alors bof ...

mais je pense que c'est le début d'un exercice donné pour travailler la récurrence alors ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 12:06

Citation :
je n'utilise que la croissance de f
Heu...

Posté par
carpediem
re : Comportement d'une suite 17-10-21 à 12:11

oui bien sûr la croissance de f!!

merci Sylvieg



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1488 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !