Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Comportement d'une suite
Bonjour, je vous solicite car je rencontre des difficultés à réaliser l'exercice suivant :
Soit une fonction f(x) = 3 - (4/(x + 1)
On considère la suite définie pour tout entier naturel par :
U0 = 4 et Un+1 = 3 - (4/(Un + 1)
On établit comme conjecture que la suite est décroissante.
Après avoir démontré par récurrence que Un ≥1 pour tout entier naturel, on montrera que la fonction f est croissante sur [0 ; +∞ [.
En déduire que pour tout n on a Un+1 ≤ Un.
Je n'ai pas eu de soucis à réaliser la démonstration par récurrence de même que l'étude de la fonction. Néanmoins, je n'arrive pas à déduire. Je sais que le minorant de Un est 1 et que la fonction est croissante, mais à partir de là, je suis bloquée. J'aurais pu faire un raisonnement par récurrence pour la dernière partie de l'exercice mais la consigne stipule bien une déduction...
Je vous remercie d'avance 
salut
si f est croissante alors : si a < b alors f(a) < f(b)
il suffit de poser
et alors f(a) = ... et f(b) = ...
...
Bonjour,
Je vois que tu es nouveau, bienvenue sur l'
Une déduction signifie qu'il faut utiliser ce qui précède.
Ça ne signifie pas qu'il est interdit d'utiliser aussi autre chose.
Tu peux donc faire une récurrence.
Mais si tu n'utilises à aucun moment le sens de variation de f, tu peux avoir un doute.
hekla
Oui, c'est ce que j'ai fait. Mais, je n'ai pas utilisé la notion de croissance de la fonction, donc je ne pense pas que ce soit correct, vu que c'est une déduction...
Bonjour
Avez-vous calculé
voir le msg de Sylvieg
carpediem
Oui, mais à quel moment est-ce que j'introduirai la notion de Un minoirée par 1 ?
et pour compléter le msg de Sylvieg : déduire signifie utiliser ce qui précède ... mais peut-être pas tout !!!
d'autre part je suis persuadé que tu n'as pas donné l'énoncé exact et complet ...
J'ai calculé Un+1 - Un.
Puis je suis partie de Un ≥ 1 et par une suite d'opérations, je suis parvenu à obtenir : le résultat précédant ≤ 0. Ainsi, Un+1 - Un ≤ 0.
Sauf que je n'ai pas utilisé le sens de variation de f.
On établit comme conjecture que la suite est décroissante.
or f est croissante donc ...
carpediem
Oui, mais à quel moment est-ce que j'introduirai la notion de Un minoirée par 1 ?carpediemcarpediemcarpediem
salut
si f est croissante alors : si a < b alors f(a) < f(b)
il suffit de poser
et alors f(a) = ... et f(b) = ...
...
Donc selon vous, je n'ai qu'à faire un raisonnement par récurrence classique, en disant que comme la fonction est croissante, l'ordre est conservé et donc (Un) est bien décroissante ? Sans utiliser : Un ≥1 ?
carpediemcarpediem
On établit comme conjecture que la suite est décroissante.
or f est croissante donc ...
merci beaucoup !!
Je reviens vers vous car j'ai questionné mon professeur qui m'a affirmé que je devais utiliser le minorant et le fait que la fonction soit croissante dans ma réponse, par le biais d'un raisonnement par récurrence... Donc, je suis toujours aussi perdue au final.
Bonjour,
Tu utilises le minorant sans t'en rendre compte :
La fonction f est croissante sur un certain intervalle.
Dans l'hérédité, tu utilises quelque part le fait que les termes de la suite sont dans cet intervalle.
Sylvieg
Est-ce que je dois poser 1≤Un+1≤Un comme propriété ?
Donc dans l'hérédité j'écrirais : f(1)≤f(Un+1)≤f(Un) car la fonction f est croissante sur [0;+∞[ et conserve donc l'ordre.
Ainsi, 1≤Un+2≤Un+1
Tu pourrais faire comme ça si tu n'avais pas démontré auparavant que la suite est minorée par 1.
En utilisant f(1) = 1.
Tu redémontrerais que la suite est minorée par 1.
Or l'énoncé demande que tu le démontres en premier.
Je te conseille plutôt de conserver un+1 
un ; et de précier que un et un+1 sont dans [0;+
[ d'après la minoration démontée auparavant.
Attends peut-être le retour de carpediem pour voir son avis
Tu as des boutons sous la zone de saisie. Tu pourras les explorer.
Le bouton "X2" permet de mettre en indice.
Le bouton "
" permet d'avoir "" par exemple.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.
Tu pourrais faire comme ça si tu n'avais pas démontré auparavant que la suite est minorée par 1.
En utilisant f(1) = 1.
Tu redémontrerais que la suite est minorée par 1.
Or l'énoncé demande que tu le démontres en premier.
Je te conseille plutôt de conserver un+1
un ; et de précier que un et un+1 sont dans [0;+[ d'après la minoration démontée auparavant.
Attends peut-être le retour de carpediem pour voir son avis
Comment est-ce que je l'integrerai à mon raisonnement ? Par une phrase, en disant que comme Un≥ 1 et donc que Un+1≥1, alors je peux utiliser la fonction f qui est définie sur [0;+∞[ ? (je suis vraiment navrée, mais c'est tout nouveau pour moi)
On établit comme conjecture que la suite est décroissante.
or f est croissante donc ...
je n'utilise que la décroissance de f sans préciser où je travaille ... (c'est à dire que je travaille "là où il faut travailler" donc sur l'intervalle adéquat ... mais ça c'est sous-entendu !!!)
le fait que l'intervalle de travail soit stable par f (u_n est minoré par 1) sert très certainement dans la suite de ton pb pour montrer que la suite est convergente !!!
alors bof ...
mais je pense que c'est le début d'un exercice donné pour travailler la récurrence alors ...
Annuler
connectez vous