Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Géometrie plane et dans l'espaceTopics traitant de Géometrie plane et dans l'espace [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation.

Posté par
matheux14 17-04-21 à 12:57

Bonjour ,

Merci d'avance.

On considère un triangle équilatéral ABC direct et de centre O.

On pose f=S_{(AO)} \circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3}) \circ S_{(AO)} et g=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3}).

a) En déduire g(A) puis la nature et les éléments caractéristiques de g.

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.

Réponses

a)  g(A)=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)=S_{(AO)}[R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)]=S_{(AO)}[B] car Mes (\vec{OA} ; \vec{OB})=\dfrac{2\pi}{3} ABC étant équilatéral direct.

(AO) est une médiatrice de [BC]. Donc [BC] (AO) et BI= IC si I milieu de [BC].

==> S(AO)B=C ==> g(A)=C et g=S(AO).

Donc g est une symétrie orthogonale d'axe (OB) car (OB) [AC] puisque O est le milieu de ABC. (OB) est donc médiatrice de [AC]. D'où AJ = JC si J milieu de [AC]

b) f=S_{(AO)} \circ R{\left(O ; \dfrac{2\pi}{3}\right)} \circ S_{(AO)}=S_{(AO)}\circ g =S_{(AO)} \circ S_{(OB)}=R\left(O;2(\vec{OB} ;\vec{OA})\right).

Mes(\vec{OB} ;\vec{OA})=-\dfrac{2\pi}{3} ABC étant un triangle équilatéral direct.

f=R(O;-\dfrac{4\pi}{3})

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:07

Bonjour,
Commençons par a) :

Le résultat (symétrie orthogonale d'axe (OB)) est correct mais il manque tout de même quelques justifications.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:16

Le point O appartient à la médiatrice de [AB]. Donc OA=OB.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:21

Ça ne va pas; je te suis :

  Tu as prouvé que g était une transformation telle que g(A)=C
Bien; tu en conclus que g est la symétrie d'axe (OB)

Ta conclusion est non justifiée; tu ne crois pas ?

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:28

Je croyais le justifier par cette ligne :

Citation :
==> S(AO)B=C ==> g(A)=C et g=S(AO)

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:31

Ah , j'ai mal fait..

S(AO) B =C ==> g(A)=C et S(OB)A= C.

D'où g = S(OB)

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:39

Non : des transformations qui envoient A sur C, il y en a un paquet.

Le problème, c'est que je ne sais pas ce que tu sais.

Mais tout de même, on peut déjà dire que g est est une isométrie en tant que composée de deux isométries.
On peut dire mieux que ça : g est un antidéplacement en tant que composée d'un antidéplacement et d'un déplacement.

On a donc affaire soit à une symétrie orthogonale soit à une symétrie glissée.

On peut remarquer que g(O)=O.

Et un antidéplacement qui laisse (au moins) un point invariant est une symétrie orthogonale.

  Avec g(A)=C (et g(O)=O), c'est seulement maintenant que tu peux conclure.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:54

Il s'agit d'un exercice d'application sur la composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation.

Je verrai les déplacements et antidéplacement juste après la classification des isométries.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 15:03

Oui, je répète:

  

Citation :
Le problème, c'est que je ne sais pas ce que tu sais.


et je complète :

   ... et ce que tu ne sais pas.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 15:54

Ok , dans ce cas , vous pourriez retoucher ce que j'ai fait dans mon premier poste , tout en tenant en compte mais réponse de 13 h 16 et 13 h 31 ?

Je travaille seul.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 16:29

Je vais essayer d'imaginer "ce que tu sais" :

  g en tant que composée de deux isométries est une isométrie.

  C'est donc soit :

   - une translation.
   - une rotation.
   - une symétrie.
   - une symétrie glissée.

g(O)=O ce n'est donc ni une translation ni une symétrie glissée.

g(A)=C

Il faut trancher entre une rotation (ce centre O) et une symétrie d'axe (OB) (la médiatrice de [AC])

Je dois quitter; je te laisse réfléchir à la question.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 18-04-21 à 21:48

Bonsoir ,

Citation :
a)  g(A)=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)=S_{(AO)}[R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)]=S_{(AO)}[B] car Mes (\vec{OA} ; \vec{OB})=\dfrac{2\pi}{3} ABC étant équilatéral direct.

(AO) est une médiatrice de [BC]. Donc [BC] (AO) et BI= IC si I milieu de [BC].

S(AO) B =C ==> g(A)=C et S(OB)A= C.

D'où g = S(OB)

Donc g est une symétrie orthogonale d'axe (OB) car (OB) [AC] puisque O est le milieu de ABC. (OB) est donc médiatrice de [AC]. D'où AJ = JC si J milieu de [AC]


Alors ça va comme ça ?

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 10:18

Bonjour,

Non : que g(A)=C, tout le monde en est convaincu.

  que (OB) soit la médiatrice de [AC] aussi.

Mais à aucun moment tu ne justifies que g est une symétrie axiale.

Pourquoi g ne serait-elle pas la rotation de centre O et d'angle -\dfrac{2\pi}{3} ? C'est aussi une isométrie qui envoie A sur C.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 10:48

Et une question en voyant ceci :

  

Citation :
Il s'agit d'un exercice d'application sur la composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation.


Que te dit ton cours à ce sujet ?

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:22

Beaucoup de trucs , je peux pas tout recopier..

Si vous souhaitez je vous envoie une photo par votre mail ..

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:26

Non, par par mail, matheux14.

Mais je peux quasiment t'assurer que la réponse à ma dernière question (pourquoi une symétrie axiale) est là : dans ton cours.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:32

Pourriez vous me remettre un peu sur le chemin , là je ne sais pas vraiment pourquoi ma réponse est incorrecte..

J'aimerais bien le faire comme vous dîtes mais un peu difficile pour moi.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:39

Moi, j'ai rien fait du tout :

J'ai juste dit ceci :

  

Citation :
On peut dire mieux que ça : g est un antidéplacement en tant que composée d'un antidéplacement et d'un déplacement.

On a donc affaire soit à une symétrie orthogonale soit à une symétrie glissée.


Ce à quoi tu m'as répondu :

  
Citation :
Je verrai les déplacements et antidéplacement juste après la classification des isométries.


A la suite de quoi, je poste ceci :

Citation :
  
Citation :
Il s'agit d'un exercice d'application sur la composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation.


Que te dit ton cours à ce sujet ?


Et tu bottes en touche.

J'avoue être un peu désarmé. Bonne nuit !

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:46

Sinon ça tient ?

Bonne nuit à vous également.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 20-04-21 à 04:16

Bonjour ,

Soit (\Delta) une droite et r une rotation de centre O.

La composée d'une rotation de centre O et d'une symétrie orthogonale d'axe (\Delta) est une symétrie orthogonale si O \in (\Delta) et une symétrie glissée si O \notin (\Delta).

Dans notre cas , on a : g=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3}).

O \in (\Delta). Il s'agit donc d'une symétrie orthogonale.

Recherche de l'axe.

Citation :
a)  g(A)=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)=S_{(AO)}[R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)]=S_{(AO)}[B] car Mes (\vec{OA} ; \vec{OB})=\dfrac{2\pi}{3} ABC étant équilatéral direct.

(AO) est une médiatrice de [BC]. Donc [BC] (AO) et BI= IC si I milieu de [BC].

==> S(AO)B=C ==> g(A)=C et g=S(AO).

Donc g est une symétrie orthogonale d'axe (OB) car (OB) [AC] puisque O est le milieu de ABC. (OB) est donc médiatrice de [AC]. D'où AJ = JC si J milieu de [AC]

b) f=S_{(AO)} \circ R{\left(O ; \dfrac{2\pi}{3}\right)} \circ S_{(AO)}=S_{(AO)}\circ g =S_{(AO)} \circ S_{(OB)}=R\left(O;2(\vec{OB} ;\vec{OA})\right).

Mes(\vec{OB} ;\vec{OA})=-\dfrac{2\pi}{3} ABC étant un triangle équilatéral direct.

f=R(O;-\dfrac{4\pi}{3})

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 20-04-21 à 10:52

Citation :
La composée d'une rotation de centre O et d'une symétrie orthogonale d'axe (\Delta) est une symétrie orthogonale si O \in (\Delta) et une symétrie glissée si O \notin (\Delta).
Dans notre cas , on a : g=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3}).

O \in (\Delta). Il s'agit donc d'une symétrie orthogonale.


Voilà ce que j'attendais depuis le début. Il faut absolument citer ce théorème

et comme g(A)=C, son axe est la médiatrice de [AC] soit (OB)

Note que tu pouvais déterminer g(O) et g(B) et utiliser un autre théorème (2 points invariants ...)

2) Tu t'es trompé dans l'ordre de composition  :

     f=g\circ S_{OA}=S_{OB}\circ S_{OA}=R_{\left(O,\dfrac{4\pi}{3}\right)}


Rechercher
Menu
Espace membre
34 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !