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Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation.

Posté par
matheux14 17-04-21 à 12:57

Bonjour ,

Merci d'avance.

On considère un triangle équilatéral ABC direct et de centre O.

On pose f=S_{(AO)} \circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3}) \circ S_{(AO)} et g=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3}).

a) En déduire g(A) puis la nature et les éléments caractéristiques de g.

b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.

Réponses

a)  g(A)=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)=S_{(AO)}[R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)]=S_{(AO)}[B] car Mes (\vec{OA} ; \vec{OB})=\dfrac{2\pi}{3} ABC étant équilatéral direct.

(AO) est une médiatrice de [BC]. Donc [BC] (AO) et BI= IC si I milieu de [BC].

==> S(AO)B=C ==> g(A)=C et g=S(AO).

Donc g est une symétrie orthogonale d'axe (OB) car (OB) [AC] puisque O est le milieu de ABC. (OB) est donc médiatrice de [AC]. D'où AJ = JC si J milieu de [AC]

b) f=S_{(AO)} \circ R{\left(O ; \dfrac{2\pi}{3}\right)} \circ S_{(AO)}=S_{(AO)}\circ g =S_{(AO)} \circ S_{(OB)}=R\left(O;2(\vec{OB} ;\vec{OA})\right).

Mes(\vec{OB} ;\vec{OA})=-\dfrac{2\pi}{3} ABC étant un triangle équilatéral direct.

f=R(O;-\dfrac{4\pi}{3})

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:07

Bonjour,
Commençons par a) :

Le résultat (symétrie orthogonale d'axe (OB)) est correct mais il manque tout de même quelques justifications.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:16

Le point O appartient à la médiatrice de [AB]. Donc OA=OB.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:21

Ça ne va pas; je te suis :

  Tu as prouvé que g était une transformation telle que g(A)=C
Bien; tu en conclus que g est la symétrie d'axe (OB)

Ta conclusion est non justifiée; tu ne crois pas ?

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:28

Je croyais le justifier par cette ligne :

Citation :
==> S(AO)B=C ==> g(A)=C et g=S(AO)

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:31

Ah , j'ai mal fait..

S(AO) B =C ==> g(A)=C et S(OB)A= C.

D'où g = S(OB)

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:39

Non : des transformations qui envoient A sur C, il y en a un paquet.

Le problème, c'est que je ne sais pas ce que tu sais.

Mais tout de même, on peut déjà dire que g est est une isométrie en tant que composée de deux isométries.
On peut dire mieux que ça : g est un antidéplacement en tant que composée d'un antidéplacement et d'un déplacement.

On a donc affaire soit à une symétrie orthogonale soit à une symétrie glissée.

On peut remarquer que g(O)=O.

Et un antidéplacement qui laisse (au moins) un point invariant est une symétrie orthogonale.

  Avec g(A)=C (et g(O)=O), c'est seulement maintenant que tu peux conclure.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 13:54

Il s'agit d'un exercice d'application sur la composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation.

Je verrai les déplacements et antidéplacement juste après la classification des isométries.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 15:03

Oui, je répète:

  

Citation :
Le problème, c'est que je ne sais pas ce que tu sais.


et je complète :

   ... et ce que tu ne sais pas.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 15:54

Ok , dans ce cas , vous pourriez retoucher ce que j'ai fait dans mon premier poste , tout en tenant en compte mais réponse de 13 h 16 et 13 h 31 ?

Je travaille seul.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 17-04-21 à 16:29

Je vais essayer d'imaginer "ce que tu sais" :

  g en tant que composée de deux isométries est une isométrie.

  C'est donc soit :

   - une translation.
   - une rotation.
   - une symétrie.
   - une symétrie glissée.

g(O)=O ce n'est donc ni une translation ni une symétrie glissée.

g(A)=C

Il faut trancher entre une rotation (ce centre O) et une symétrie d'axe (OB) (la médiatrice de [AC])

Je dois quitter; je te laisse réfléchir à la question.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 18-04-21 à 21:48

Bonsoir ,

Citation :
a)  g(A)=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)=S_{(AO)}[R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)]=S_{(AO)}[B] car Mes (\vec{OA} ; \vec{OB})=\dfrac{2\pi}{3} ABC étant équilatéral direct.

(AO) est une médiatrice de [BC]. Donc [BC] (AO) et BI= IC si I milieu de [BC].

S(AO) B =C ==> g(A)=C et S(OB)A= C.

D'où g = S(OB)

Donc g est une symétrie orthogonale d'axe (OB) car (OB) [AC] puisque O est le milieu de ABC. (OB) est donc médiatrice de [AC]. D'où AJ = JC si J milieu de [AC]


Alors ça va comme ça ?

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 10:18

Bonjour,

Non : que g(A)=C, tout le monde en est convaincu.

  que (OB) soit la médiatrice de [AC] aussi.

Mais à aucun moment tu ne justifies que g est une symétrie axiale.

Pourquoi g ne serait-elle pas la rotation de centre O et d'angle -\dfrac{2\pi}{3} ? C'est aussi une isométrie qui envoie A sur C.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 10:48

Et une question en voyant ceci :

  

Citation :
Il s'agit d'un exercice d'application sur la composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation.


Que te dit ton cours à ce sujet ?

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:22

Beaucoup de trucs , je peux pas tout recopier..

Si vous souhaitez je vous envoie une photo par votre mail ..

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:26

Non, par par mail, matheux14.

Mais je peux quasiment t'assurer que la réponse à ma dernière question (pourquoi une symétrie axiale) est là : dans ton cours.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:32

Pourriez vous me remettre un peu sur le chemin , là je ne sais pas vraiment pourquoi ma réponse est incorrecte..

J'aimerais bien le faire comme vous dîtes mais un peu difficile pour moi.

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:39

Moi, j'ai rien fait du tout :

J'ai juste dit ceci :

  

Citation :
On peut dire mieux que ça : g est un antidéplacement en tant que composée d'un antidéplacement et d'un déplacement.

On a donc affaire soit à une symétrie orthogonale soit à une symétrie glissée.


Ce à quoi tu m'as répondu :

  
Citation :
Je verrai les déplacements et antidéplacement juste après la classification des isométries.


A la suite de quoi, je poste ceci :

Citation :
  
Citation :
Il s'agit d'un exercice d'application sur la composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation.


Que te dit ton cours à ce sujet ?


Et tu bottes en touche.

J'avoue être un peu désarmé. Bonne nuit !

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 19-04-21 à 22:46

Sinon ça tient ?

Bonne nuit à vous également.

Posté par
matheux14re : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 20-04-21 à 04:16

Bonjour ,

Soit (\Delta) une droite et r une rotation de centre O.

La composée d'une rotation de centre O et d'une symétrie orthogonale d'axe (\Delta) est une symétrie orthogonale si O \in (\Delta) et une symétrie glissée si O \notin (\Delta).

Dans notre cas , on a : g=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3}).

O \in (\Delta). Il s'agit donc d'une symétrie orthogonale.

Recherche de l'axe.

Citation :
a)  g(A)=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)=S_{(AO)}[R(O ;\dfrac{2\pi}{3})(A)]=S_{(AO)}[B] car Mes (\vec{OA} ; \vec{OB})=\dfrac{2\pi}{3} ABC étant équilatéral direct.

(AO) est une médiatrice de [BC]. Donc [BC] (AO) et BI= IC si I milieu de [BC].

==> S(AO)B=C ==> g(A)=C et g=S(AO).

Donc g est une symétrie orthogonale d'axe (OB) car (OB) [AC] puisque O est le milieu de ABC. (OB) est donc médiatrice de [AC]. D'où AJ = JC si J milieu de [AC]

b) f=S_{(AO)} \circ R{\left(O ; \dfrac{2\pi}{3}\right)} \circ S_{(AO)}=S_{(AO)}\circ g =S_{(AO)} \circ S_{(OB)}=R\left(O;2(\vec{OB} ;\vec{OA})\right).

Mes(\vec{OB} ;\vec{OA})=-\dfrac{2\pi}{3} ABC étant un triangle équilatéral direct.

f=R(O;-\dfrac{4\pi}{3})

Posté par
lakere : Composée d'une symétrie orthogonale et d'une rotation. 20-04-21 à 10:52

Citation :
La composée d'une rotation de centre O et d'une symétrie orthogonale d'axe (\Delta) est une symétrie orthogonale si O \in (\Delta) et une symétrie glissée si O \notin (\Delta).
Dans notre cas , on a : g=S_{(AO)}\circ R(O ;\dfrac{2\pi}{3}).

O \in (\Delta). Il s'agit donc d'une symétrie orthogonale.


Voilà ce que j'attendais depuis le début. Il faut absolument citer ce théorème

et comme g(A)=C, son axe est la médiatrice de [AC] soit (OB)

Note que tu pouvais déterminer g(O) et g(B) et utiliser un autre théorème (2 points invariants ...)

2) Tu t'es trompé dans l'ordre de composition  :

     f=g\circ S_{OA}=S_{OB}\circ S_{OA}=R_{\left(O,\dfrac{4\pi}{3}\right)}


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