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Composée de 3 symétries orthogonales

Posté par
Mimchen
19-11-05 à 14:57

Comment peut-on démontrer que la composée de 3 symétries orthogonales dont les axes forment un véritable triangle, n'admet pas de points fixes ?
Merci

Posté par
otto
re : Composée de 3 symétries orthogonales 19-11-05 à 15:09

Bonjour,
est ce que tu te places dans le plan ou dans l'espace?
(est ce que ca changerait quelque chose?)

Posté par
Mimchen
re : Composée de 3 symétries orthogonales 19-11-05 à 15:22

dans le plan (désolée, j'avais complètement oublié de le dire)

Posté par
littleguy
re : Composée de 3 symétries orthogonales 19-11-05 à 18:26

Bonsoir

En appelant s_1 la réflexion d'axe (AB), s_2 la réflexion d'axe (AC), s_3 la réflexion d'axe (AB) on a f=s_3os_2os_1=f=s_3o(s_2os_1)


s_2 o s_1 est la composée de deux réflexions d'axes sécants en A donc une rotation r de centre A (et d'angle 2(\vec{AB},\vec{AC}), mais peu importe)

Supposons I invariant par f, et notons I' l'image de I par r . On a alors s_3(I')=I (puisque f(I)=I) et donc (BC) est la médiatrice de [II']

or AI = AI' (puisque r est une rotation de centre A) et donc A appartient à la médiatrice de [II']

donc A, B, C alignés.

d'où la conclusion

sauf erreur

Posté par
littleguy
re : Composée de 3 symétries orthogonales 19-11-05 à 18:26

s_3 est la réflexion d'axe (BC)

Posté par
Mimchen
re : Composée de 3 symétries orthogonales 19-11-05 à 19:04

oh que c'est facile maintenant que je connaîs la solution
j'avais aussi reagardé la rotation, mais je ne savais plus comment continuer pour avoir une contradiction.
merci beaucoup !



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