Niveau école ingénieur

Composée de différentielles stochastiques

Posté par
MathsRaccoon 03-01-18 à 18:37

Bonjour,

Je suis étudiant en finance, je m'excuse donc si j'écris des choses qui paraissent idiotes ou évidentes pour un mathématicien ()

J'ai:
dS_t⁰ = r S_t⁰ dt
dS_t = μ S_t dt + σ S_t dW_t

où W_t est un mouvement brownien standard.

Je cherche d(S_t/S_t⁰)

Mon prof me dit d'utiliser le lemme d'Ito pour trouver: d(S_t/S_t⁰) = (S_t/S_t⁰) [ (μ - r) dt + σ dW_t ]

Mon souci est que je ne comprends absolument pas le lien avec le lemme d'Ito. En effet, ne puis-je pas utiliser le classique résultat de la dérivée de f/g? Ou bien le fait qu'ici f ait une composante stochastique m'empêche-t-il de le faire?

Merci,

Clément

Posté par re : Composée de différentielles stochastiques 03-01-18 à 22:40

Bonjour.

Le résultat $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ n'est valable que dans le cas déterministe, c'est-à-dire sans rien d'aléatoire. De manière générale, toutes les opérations connues sur la dérivée (dérivée de fg, de f/g, de f^n, etc.) ne sont plus valables a priori dans le cas où il y a une composante stochastique. Le seul outil à disposition est alors la formule d'Itô.

Ici on l'utilise avec les variables aléatoires $S_t$ et $S^0_t$ et avec la fonction $f:(x,y)\mapsto\frac xy$ . Alors
$d(S_t/S^0_t)=df(S_t,S^0_t)=\frac{\partial f}{\partial x}(S_t,S^0_t)\,dS_t+\frac{\partial f}{\partial y}(S_t,S^0_t)\,dS^0_t+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(S_t,S^0_t)\,d\langle S\rangle t+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(S_t,S^0_t)\,d\langle S^0\rangle t+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(S_t,S^0_t)\,d\langle S,S^0\rangle t$