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Composée de différentielles stochastiques

Posté par
MathsRaccoon
03-01-18 à 18:37

Bonjour,

Je suis étudiant en finance, je m'excuse donc si j'écris des choses qui paraissent idiotes ou évidentes pour un mathématicien ()

J'ai:
dSt0 = r St0 dt
dSt = μ St dt + σ St dWt

où Wt est un mouvement brownien standard.

Je cherche d(St/St0)

Mon prof me dit d'utiliser le lemme d'Ito pour trouver: d(St/St0) = (St/St0) [ (μ - r) dt + σ dWt ]

Mon souci est que je ne comprends absolument pas le lien avec le lemme d'Ito. En effet, ne puis-je pas utiliser le classique résultat de la dérivée de f/g? Ou bien le fait qu'ici f ait une composante stochastique m'empêche-t-il de le faire?

Merci,

Clément

Posté par
WilliamM007
re : Composée de différentielles stochastiques 03-01-18 à 22:40

Bonjour.

Le résultat \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} n'est valable que dans le cas déterministe, c'est-à-dire sans rien d'aléatoire. De manière générale, toutes les opérations connues sur la dérivée (dérivée de fg, de f/g, de f^n, etc.) ne sont plus valables a priori dans le cas où il y a une composante stochastique. Le seul outil à disposition est alors la formule d'Itô.

Ici on l'utilise avec les variables aléatoires S_t et S^0_t et avec la fonction f:(x,y)\mapsto\frac xy. Alors
d(S_t/S^0_t)=df(S_t,S^0_t)=\frac{\partial f}{\partial x}(S_t,S^0_t)\,dS_t+\frac{\partial f}{\partial y}(S_t,S^0_t)\,dS^0_t+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(S_t,S^0_t)\,d\langle S\rangle t+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(S_t,S^0_t)\,d\langle S^0\rangle t+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(S_t,S^0_t)\,d\langle S,S^0\rangle t

Posté par
MathsRaccoon
re : Composée de différentielles stochastiques 13-01-18 à 19:16

Bonjour William,

Merci beaucoup pour votre réponse. Je n'ai pas eu l'intuition d'utiliser la fonction f(x,y)=x/y.

Clément

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