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Composée de fonction

Posté par
c0c0
03-01-21 à 17:02

Bonjour, j'ai un DM de mathématiques qui porte sur les composées de fonction et je suis plutôt perdue... J'ai répondu aux deux premières questions et je bloque pour la c).

Enoncé:
On s'intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur D = R - {2} par f = v o u.
a) Calculer f(-1) et f'(-1).
b) Déterminer les limites de f en 2, en +infini et en -infini. Interpréter graphiquement les résultats.
c) Etudier le signe de f'(x) sur D. En déduire le sens de variation de f sur D.
d) Dresser le tableau de variations de f.
e) Construire une courbe susceptible de représenter f.
On commencera par placer les asymptotes et les tangentes connues.
Nous avons également à disposition les deux tableaux de variations des fonctions u(x) et v(x) (que j'ai reproduis).

Voici mes réponses:
a) f(-1)= 3 et f'(-1)= 0
b)\lim_{x\to 2+} f(x)= 1 \lim_{x\to 2-} f(x)= 1 \lim_{x\to+\infty } f(x)=-7 \lim_{x\to-\infty } f(x)=+\infty
En x=2 f(x) n'est pas définie, pour les valeurs de x proches de 2, f(x) a pour limite 1. Quand x tend vers +\infty , la courbe admet une asymptote horizontale (droite d'équation y=-7). Quand x tend vers-\infty, la courbe tend vers +\infty. (je pense qu'il manque des choses notamment au niveau des tangentes ?)
c) On étudie le signe de f'(x) (=u'(x)\timesv'(u(x)))
pour x<2 puis x>2 :  
pour x<2 : u'(x) négative     v'(x) positive    u(x) ??? --> voici mon problème
pour x>2 : u'(x) positive       v'(x) négative  u(x) ??? --> même problème

Voila, du coup je suis bloquée pour le reste...
En espérant que quelqu'un puisse m'aider
Merci !
Bonne fin de journée

Composée de fonction

Posté par
larrech
re : Composée de fonction 03-01-21 à 17:08

Bonjour,

Sans connaître v et u c'est bien difficile...

Posté par
larrech
re : Composée de fonction 03-01-21 à 17:19

Ah pardon, je n'avais pas lu jusqu'au bout.
Seules les variations de u et v sont connues et il faut faire avec ça.

Posté par
c0c0
re : Composée de fonction 03-01-21 à 17:28

Oui en effet j'ai seulement ça... Mais du coup est-ce-que vous savez comment je pourrais trouver le signe de u(x) ?

Posté par
larrech
re : Composée de fonction 03-01-21 à 18:36

Comme f'_x=v'_u u'_x, je te conseille de faire un tableau avec les lignes successives suivantes :
x
u'(x)
u(x)
v'(u)
f'
f

A la 4ème ligne, le v' est fonction directe du u de la ligne au dessus (qui joue alors le rôle du x du tableau qu'on t'a donné).

Comme quand 2x+, u varie de - à +, le TVI ou son corollaire nous disent qu'il existe a et b uniques tels que u(a)=-1 et u(b)=2

Tu indiques ces 2 valeurs entre 2 et + dans la première ligne. et les valeurs correspondantes de u.

Tu en déduis ensuite le signe de v'(u), puis de f'.

Voilà, désolé si ce n'est pas très clair, mais à part donner le tableau tout cuit je ne sais pas bien faire.

Posté par
c0c0
re : Composée de fonction 03-01-21 à 19:07

Citation :
Comme quand 2x+, u varie de - à +, le TVI ou son corollaire nous disent qu'il existe a et b uniques tels que u(a)=-1 et u(b)=2

Tu indiques ces 2 valeurs entre 2 et + dans la première ligne. et les valeurs correspondantes de u.


Je ne comprends pas cette partie qui est la plus importante je suppose... En fait, ce qui pose problème c'est que j'ignore ce que signifie "le TVI ou son corollaire" ( je n'ai jamais vu ça en cours...)

Voilà, si vous avez une solution

Posté par
larrech
re : Composée de fonction 03-01-21 à 19:20

Pour dire les choses de façon plus imagée.

Quand x varie de 2 à +, u varie de - à + en restant constamment croissante.

u va donc prendre une fois et une seule toutes les valeurs réelles et en particulier la valeur 2. Or on sait d'après les tableaux donnés  qu'au voisinage de 2, v tend vers +.

(oublie la valeur -1, elle n'apporte rien ici)

Posté par
c0c0
re : Composée de fonction 04-01-21 à 17:05

En fait en réfléchissant, normalement le signe de u(x) ne change pas le signe de f'(x) car v'(u(x)) est la même chose que v'(X) ... Il suffirait donc simplement d'étudier le signe de v'(x) et de u'(x) grâce aux tableaux, ce que j'ai déjà fait.
pour x<2 : u'(x) négative     v'(x) positive    - \times+=-
pour x>2 : u'(x) positive       v'(x) négative  + \times-=-

Pour conclure, f'(x) est tout le temps négative sur D, on en déduis que f est décroissante sur ce même intervalle.
Voilà...
Dites-moi ce que vous en pensez

Posté par
larrech
re : Composée de fonction 04-01-21 à 23:16

Citation :
v'(u(x)) est la même chose que v'(X) ...


Sauf que le X en question c'est u et non x. Il faut donc regarder le signe de v' en fonction des variations de la nouvelle variable u.

Donc pas d'accord.

Posté par
c0c0
re : Composée de fonction 05-01-21 à 10:44

Mince alors !



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