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Composée de transformations

Posté par pinotte (invité) 29-10-04 à 04:12

Bonjour!

J'ai un petit problème avec un exercice. Je n'ai réussi qu'à en démontrer la moitié, et j'aimerais que quelqu'un m'aide à démontrer la deuxième partie

"Montrer que le produit d'une homothétie de rapport k0 et d'une translation est une homothétie de même rapport k. Ce produit est-il commutatif?"

Voici comment j'ai montré qu'il s'agit d'une homothétie (j'aimerais qu'on me dise si ma démonstration est complète, s'il-vous-plaît):

Soit M et N deux points distincts du plan.
Soit H une homothétie de rapport k tel que H(M)=M1 et H(N)=N1.
Soit T une translation tel que T(M1)=M' et T(N1)=N'.

M1N1 = kMN         (propriété caractéristique d'une homothétie)
M'N' = M1N1         (propriété caractéristique d'une translation)

Par transitivité, on trouve: M'N' = kMN.

Il s'agit de la propriété caractéristique d'une homothétie. Donc, T°H = H', où H' est une homothétie de même rapport k.

Voilà... maintenant je n'arrive pas à prouver la non-commutativité de cette composée. Ma prof m'a dit d'y aller avec le point invariant, mais je ne vois toujours pas...

J'attendrai des pistes de votre part!

Merci!

Posté par keeho (invité)re : Composée de transformations 29-10-04 à 11:40

une homothétie peut être définie par un rapport et son centre et ce dernier est l'unique point invariant par cette transformation.
Notons O le centre de l'homotéthie.
On a t(h(O)) = t(O)
Si la composée commute, on a alors h(t(O) = t(O), ce qui n'est possible que si t(O) est le point fixe de l'homotéthie d'ou une contradiction (sauf si la translation est de vecteur nul)



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