Question bonus.
On explique qu'on admet que D pourra être ^p, ou ^p avec p un entier naturel suppérieur ou égale à 1.

Pour l'ensemble ne peut-il être à la puissance p. ça a beau être admis, ça me turlupine.

Bonjour. Reprenons les définitions d'injection et surjection des fonctions.

On dit que réalise une injection de sur quand deux éléments de ayant la même image par sont égaux. Ce qu'on peut écrire .

La surjection de sur dit que tous les éléments de sont atteints par au moins une "flèche" partant de , soit . Cela signifie aussi que tous les éléments de possèdent des antécédents par .

1) E dénombrable si, et seulement si il existe une injection de E dans D avec D un ensemble dénombrable.

L'implication directe est vraie, car il suffit de prendre D=E et l'identité pour l'injection.
Réciproquement, supposons que l'on ait un ensemble dénombrable et une injection. On a alors qui réalise une bijection de sur , mais l'image est-elle assurément dénombrable ? Prenons par exemple et avec l'identité de E pour injection, mais E n'est pas dénombrable... On peut seulement montrer (sous les hypothèses d'injection) que l'on a juste E au plus dénombrable (fini ou dénombrable).

2) Même remarque, le membre droit du "ssi" n'est pas une condition suffisante.

Bonsoir,
dire « on sait  a priori que D est dénombrable » dit « on sait qu'il y a une bijection entre N et D ».
Chacune des deux conditions que tu donnes est nécessaire et suffisante.
On a pas « besoin » des deux : elles sont équivalentes.

Pour tes questions 2) et 3).
Si f est une application de A dans (ou sur) B chaque élément de A a une unique image dans B.
     f est injective quand deux éléments distincts de A ont des images distinctes dans B.
     f est surjective quand chaque élément de B est image d'un élément de A. C'est pour ça que l'on dit surjection de A sur B.

Pour la question bonus.
« On » sait qu'il y a une bijection entre N et Z.
Il en découle de façon presque évidente qu'il y a une bijection entre N^p et Z^p.

Bonjour ,
"a priori" (sans accent sur le a) signifie qu'on sait  que l'ensemble en question est dénombrable, soit que cela résulte de la définition (cas de , évidemment), soit qu'on l'ait démontré (cas de \mathbb{Z},  \mathbb{Q}, etc ) , le résultat étant ici admis.

Bonsoir SkyMtn.
Il y a effectivement un problème sur la définition de dénombrable.

Personnellement, je dirais que E={1 ; 2 ; 3 ; 4} est dénombrable. Mais la définition a changé plusieurs fois au cours de ma vie. Je ne sais donc pas vraiment si je suis au goût du jour.

Mais dans la question de Chwebie il est clairement précisé que E est un ensemble infini.  

salut

à mon avis ... il est grand temps d'apprendre le français ... à l'aide d'un dictionnaire ... et les définitions ...

injection de A dans B : ben tout simplement parce qu'on ne peut pas avoir plus d'éléments dans A que dans B donc on ne débordera pas de B

alors que par exemple si on veut créer une injection de R dans Q ... ben à un moment on aura pris tous les éléments de Q et on devra sortir de Q ...

surjection de A sur B : ben tout simplement A recouvre tout B

tout cela est simplement l'exercice de la réflexion sur ces définitions (et la connaissance exacte de ces définitions et du français)

un (autre) exemple d'injection de N dans N : x --> 2x : on arrive dans N mais on ne recouvre pas N

PS : c'est évidemment une injection puisque la fonction x --> 2x est bijective sur R

un (autre) exemple de surjection de Q sur N : p/q --> p : on arrive dans N et on recouvre N et même plusieurs fois

ouais je comprends ta réaction ... encore cet impérialisme anglo-saxon + la méconnaissance de la langue française qui conduit à de telles absurdités ...

avec cette définition E = [1, 2, 3, 4} n'est donc pas dénombrable ... même un bébé sait dénombrer un plateau où se trouve quatre bonbons (des études intéressantes ont été mené sur ce sujet pour connaitre la capacités de dénombrer en fonction de l'age)

de la même façon supérieur qui est devenu > alors que supérieur est

avec > 0 n'est donc plus positif (ni négatif) alors qu"avec il est positif (et négatif donc nul) et heureusement que 0 = 0