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congruence avec des nb premiers

Posté par jacko78 (invité) 17-09-05 à 15:26

Bonjour a tous, je me permet de vous solliciter sur ces deux petites questions, dont l'une est deja bien avancée, parce que je rame et l'exercice est tres long... Voila le souci :


En considerant p et q deux nombres premiers impairs distincts :

- Montrer que pq1 (mod 4) (-1)^{\frac{p+1}{2} \times \frac{q+1}{2}}=-1

La j'ai montré assez facilement la premiere inclusion dans le sens mais j'aurai besoin d'aide pour le retour svp...

- Montrer que : \frac{p+1}{2}\times\frac{q+1}{2} + \frac{p-1}{2} + \frac{q-1}{2} + 1 \frac{p-1}{2}\times\frac{q-1}{2} (mod 2)

Voili voila merci beaucoup d'avance a tous ceux qui s'y frotteront
Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:congruence avec des nb premiers 17-09-05 à 17:15

\fbox{\Longleftarrow} supposons que (-1)^{\frac{p+1}{2}\times\frac{q+1}{2}}=-1 et donc que l'entier \frac{p+1}{2}\times\frac{q+1}{2} est impair.Ainsi l'un au moins des deux entiers \frac{p+1}{2} et \frac{q+1}{2} est impair et vu le role symétrique que jouent p et q on peut supposer que \frac{p+1}{2} est impair.
lemme: \fbox{\exists x\in\mathbb{Z}/x^2\equiv-1[p]}
d'où: \fbox{-1=(-1)^{\frac{p+1}{2}\times\frac{q+1}{2}}= ((-1)^{\frac{p+1}{2}})^{\frac{q+1}{2}}=((-1)^{\frac{p-1}{2}})^{\frac{q+1}{2}}\equiv ((x^2)^{\frac{p-1}{2}})^{\frac{q+1}{2}}\equiv(x^{p-1})^{\frac{q+1}{2}}\equiv1[p]}
ce qui donne que \fbox{2\equi0[p]} absurde puisque p est impair.
je ferais un autre post pour la démonstration du lemme.
Sauf erreur bien entendu
A propos jacko78,as tu lu ma réponse sur les sous groupes de (\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}},+) ?

Posté par
piepalmre : congruence avec des nb premiers 17-09-05 à 17:18

((p+1)/2)((q+1)/2)=(p+1)(q+1)/4 est donc impair; or si p ou q (ou les deux) sont congrus à -1 modulo 4, (p+1)(q+1) est divisible par 8 donc (p+1)(q+1)/4 est pair! donc p=q=1 (mod 4)

((p+1)/2)((q+1)/2)=((p-1)/2+1)((q-1)/2+1)=((p-1)/2)((q-1)/2)+(p-1)/2+(q-1)/2+1
donc ((p+1)/2)((q+1)/2)+(p-1)/2+(q-1)/2+1=((p-1)/2)((q-1)/2)+(p+q)
et comme p et q sont impairs, p+q est pair donc
((p+1)/2)((q+1)/2)+(p-1)/2+(q-1)/2+1=((p-1)/2)((q-1)/2)  (mod 2)

Posté par jacko78 (invité)re : congruence avec des nb premiers 17-09-05 à 17:30

Oui elhor j'ai vu ta reponse seulement apres la correction de mon prof et j'ai eu peu de temps pour te remercier. Ta réponse etait comme toujours tout a fait exacte et m'a aidée a mieux comprendre l'exo. Désolé de n'avoir pu te remercier plutot mais c'est chose faite maintenant.

Merci pour ca et pour l'ensemble de ton travail au sein de l'ile, lequel me profite regulierement...

Merci egalement a toi piepalm

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : congruence avec des nb premiers 17-09-05 à 18:08

Je crois que j'ai commis une belle erreur car (-1)^{\frac{p+1}{2}}\neq(-1)^{\frac{p-1}{2}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : congruence avec des nb premiers 17-09-05 à 18:31

On va arranger ça,on avait donc modulo p:
\fbox{-1=((-1)^{\frac{p+1}{2}})^{\frac{q+1}{2}}=((x^2)^{\frac{p+1}{2}})^{\frac{q+1}{2}}=(x^{p+1})^{\frac{q+1}{2}}=(x^2)^{\frac{q+1}{2}}=(-1)^{\frac{q+1}{2}}} donc necessairement \frac{q+1}{2} est impair car sinon on aurait \fbox{-1=1[p]} et donc que p|2 ce qui est hors de question puisque p est impair.Ainsi les deux entiers p et q sont bien congrus à 1 modulo 4. CQFD
j'espére que c'est juste cette fois

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : congruence avec des nb premiers 17-09-05 à 23:02

preuve du lemme:
Soit p un nombre premier tel que \fbox{p\equiv1\hspace{5}[4]} (en particulier p est impair \ge3).
On peut écrire en notant \mathbb{F}_p le corps (\mathbb{Z}/_{p\mathbb{Z}},+,\times) et {\mathbb{F}_p}^*=\mathbb{F}_p-\{0\} que:
\fbox{\forall x\in{\mathbb{F}_{p}}^*\\x^{p-1}=1} et donc que \fbox{\forall x\in{\mathbb{F}_{p}}^*\\(x^{\frac{p-1}{2}}-1)(x^{\frac{p-1}{2}}+1)=1} et comme on ne peut avoir \fbox{\forall x\in{\mathbb{F}_{p}}^*\\x^{\frac{p-1}{2}}=1}
puisque (\mathbb{F}_{p}^*,\times) est cyclique d'ordre p-1 on peut affirmer que:
\fbox{\exists y\in\mathbb{Z}\\y^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1\hspace{5}[p]} et avec \fbox{p=4k+1} et \fbox{x=y^k} on a donc que \fbox{\exists x\in\mathbb{Z}\\x^2\equiv-1\hspace{5}[p]} CQFD
Sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : congruence avec des nb premiers 18-09-05 à 00:52

lire: \fbox{\forall x\in{\mathbb{F}_p}^*\\(x^{\frac{p-1}{2}}-1)(x^{\frac{p-1}{2}}+1)=0}


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