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congruence modulo

Posté par
samad 05-07-19 à 22:03

Bonjour à tous

Je cherche des indications pour cette question:
pour tout entier naturel n :
\\ \\ 3^{7^{n}}+ 5^{7^{n}} \equiv ~~1 ~~[mod ~~ 7^{n+1}] \\

Merci de votre aide

Posté par
flightre : congruence modulo 05-07-19 à 22:09

salut

ta question n'est pas posée

Posté par
jsvdbre : congruence modulo 05-07-19 à 22:10

Bonsoir samad.
Et quelle est la question ?

Posté par
ThierryPomare : congruence modulo 05-07-19 à 22:16

Bonsoir,

Peut-être s'agit-il de démontrer par récurrence sur n que

(\forall\,n)\left(n\in\N\Rightarrow3^{7^{n}}+ 5^{7^{n}}\equiv1 \qquad\left[ 7^{n+1}\right]\right)

Posté par
samadre : congruence modulo 05-07-19 à 22:36

  Oui biensur
Il s'agit de montrer cette congruence par récurrence ou par toute autre méthode

Posté par
jsvdbre : congruence modulo 05-07-19 à 22:48

Alors dis nous, tu en es où de tes recherches ?

Posté par
verdurinre : congruence modulo 06-07-19 à 12:26

Bonjour,
une piste possible :

a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)\sum_{i=0}^{2k}(-1)^i a^{2k-i}b^i

Posté par
jandri Correcteurre : congruence modulo 06-07-19 à 16:52

Bonjour,

la question a été posée ici:

Posté par
etniopalre : congruence modulo 07-07-19 à 16:14


     Il s'agit de montrer que  si on pose  , pour n   ,
  u(n) := 3^{7^{n}}   et    v(n) :=  2^{7^{n}}    on a : u(n) - v(n)  = 1 (modulo 7n) .

La relation est clairement vraie  pour 0 .
Il suffit donc de montrer que  R(n) : = R(n) = (u(n+1) - u(n+1))/(u(n) - v(n)  = 1 ( moulo 7) pour tout n .

Or   on a :
     R(n) =  u6 + u5.v +   u4.v²  +  u3v 3 +  u2v 4  +  u. v5   +  v6  
et  , modulo 7 ,  u.v = -1 , u² = v , v² = -u  donc
   R(n) =  = 1 + u  + v -1 - u - v  +  1 =1  .

  

Posté par
etniopalre : congruence modulo 07-07-19 à 17:38

R(n) :  = (u(n+1) - v(n+1))/(u(n) - v(n)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence modulo 07-07-19 à 17:55

Bonjour etniopal,
J'ai l'impression qu'il y a une autre coquille dans u(n) - v(n) = 1 (modulo 7n) .
Ce n'est pas plutôt 7n+1 ?

Et il y a deux choses qui me chiffonnent :
Pourquoi remplacer 5 par -2 , ce qui nécessiterait de démontrer 5^{7^{n}} \equiv (-2)^{7^{n}}\; [7^{n+1}] ?

Ensuite, il me semble que R(n) congru à 1 modulo 7 ne suffit pas pour conclure.
(1+7mk)(1+7k') n'est pas à priori congru à 1 modulo 7m+1 .

Posté par
jandri Correcteurre : congruence modulo 07-07-19 à 21:58

Bonjour Sylvieg,

je suis d'accord avec toi mais j'ai une explication pour remplacer 5 par -2.

Comme 5\equiv-2 \pmod 7 on montre aisément par récurrence que 5^{7^n}\equiv -2^{7^n} \pmod {7^{n+1}}.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence modulo 07-07-19 à 22:12

Merci jandri pour ta réponse.
Nous sommes d'accord : Il faut une démonstration.

Mais entre x7-z7 et x7+y7 , un des deux est-il plus simple à factoriser?
Je crois avoir compris que c'est la démarche de etniopal

J'avoue avoir un peu de mal avec les démonstrations du lien que tu as donné

Posté par
coa347re : congruence modulo 07-07-19 à 22:19

Bonsoir,
etniopal : 3 congru à 1 (\mod 2) n'implique pas 3 congru à 1 (\mod 4).
C'est le contraire qui est vrai : 5 congru à 1 (\mod 4) implique 5 congru à 1 (\mod 2).
Le problème est de montrer la relation modulo 7^{n+1}. La montrer modulo 7 est immédiat.

Posté par
jsvdbre : congruence modulo 07-07-19 à 22:38

Je suis surpris qu'on ne pense pas au petit théorème de Fermat ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence modulo 08-07-19 à 11:03

Bonjour,
Je pense avoir réussi à démontrer ceci par récurrence :

Si x\equiv y \pmod 7 alors x^{7^n}\equiv y^{7^n} \pmod {7^{n+1}} .

En développant avec la formule du binôme (y^{7^n} + k\times 7^{n+1})^7

A partir de là, je crois comprendre la démonstration de Keynes.

@jsvdb,
Je ne vois pas comment utiliser le petit théorème de Fermat.

Posté par
jsvdbre : congruence modulo 08-07-19 à 12:01

J'ai pas abouti.
Je poste ce que j'ai fait et si quelqu'un voit comment continuer avec ces idées, qu'il y aille gaiement :

Par le théorème de Fermat, on a :

3^{7^{n+1}}=(3^{7^n})^7 = 3^{7^n} [7]

5^{7^{n+1}}=(5^{7^n})^7 = 5^{7^n} [7]

Il vient alors

3^{7^{n+1}}+5^{7^{n+1}}=3^{7^n} +5^{7^n}~[7]

Et si on utilise l'hypothèse de récurrence :

3^{7^{n+1}}+5^{7^{n+1}}=1~[7^{n+1}]~[7]

Je reprécise : c'est juste un jet d'idée ... il y a probablement moyen de goupiller les choses autrement ... ou pas

Posté par
jandri Correcteurre : congruence modulo 08-07-19 à 23:25

La méthode de jsvdb n'aboutit pas puisqu'une congruence modulo 7 ne permet pas d'en déduire une congruence modulo 7^n.

Il y a trois démonstrations différentes sur le lien que j'ai indiqué.

Toutes les trois permettent de démontrer la généralisation à un nombre premier de la forme p=6q+1.

Posté par
jsvdbre : congruence modulo 09-07-19 à 02:02

Je sais bien qu'en l'état elle n'aboutit pas, j'explore juste une autre piste ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence modulo 09-07-19 à 11:05

Bonjour,
Je reprends ici, en détaillant, ce que je crois avoir compris de la dernière démonstration de Keynes sur le lien.
On y utilise trois fois ceci :
Si x\equiv y \;[7] alors x^{7^n}\equiv y^{7^n} \;\;[7^{n+1}] .

Avec a = 2^{7^{n}} on a 5^{7^{n}} \equiv - 2^{7^{n}} \equiv -a \;\; [7^{n+1}] et 3^{7^{n}} \equiv - 4^{7^{n}} \equiv -a^{2}\;\; [7^{n+1}]

On veut démontrer -(a^{2}+a) \equiv 1 \; \; [7^{n+1}] . C'est équivalent à a^{2}+a+1 \equiv 0 \; \; [7^{n+1}]

Or 2^{7} \equiv 2\; \; [7] ; donc 2^{7^{n}} \equiv 2\; \; [7] . C'est à dire a\equiv 2\; \; [7] .
D'où a-1\equiv 1\; \; [7] . L'entier a-1 n'est donc pas divisible par 7 .

a^{2}+a+1 divisible par 7^{n+1} est donc équivalent à (a-1)(a^{2}+a+1) divisible par 7^{n+1} .
Équivalent à a^{3} -1 divisible par 7^{n+1} .

Or a^{3} = 8^{7n} \equiv 1^{7n} \; \; [7^{n+1}] .
Donc a^{3} -1 est divisible par 7^{n+1}

Posté par
jandri Correcteurre : congruence modulo 09-07-19 à 11:21

Bonjour Sylvieg,

tu as bien justifié les parties de la démonstration de Keynes qui étaient imprécises.
C'est la démonstration la plus courte parmi les trois qui ont été proposées.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence modulo 09-07-19 à 17:44

Merci jandri pour tes encouragements.
Quand j'aurai un peu plus de temps, j'essayerai de comprendre ta généralisation.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence modulo 14-07-19 à 12:03

Bonjour,
@jandri,
Ça y est, j'ai trouvé le temps
J'ai l'impression que p congru à 1 modulo 6 n'est pas utile.
Je me trompe ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence modulo 14-07-19 à 12:04

Mais peut-être que c'est utile pour l'existence de a et b .

Posté par
jandri Correcteurre : congruence modulo 15-07-19 à 11:38

C'est bien cela, p=6q+1 est nécessaire (et suffisant) pour qu'il existe (a,b) vérifiant a+b\equiv ab\equiv 1\pmod p, p étant un nombre premier. Mais ensuite cela n'intervient pas dans les calculs.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruence modulo 15-07-19 à 17:39

D'accord.
Pour mon niveau, avoir compris le côté nécessaire sera ... suffisant
Merci pour tes réponses


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