Sur un exemple, le principe est plus ou moins le suivant.
Pour p=5, tu as 1.2.3.4=24=-1[5] car 2.3=6=1[5] et 4=-1[5].
Il faut se convaincre que parmi les nombres 1, 2, ..., p-1,
a) il y en a un qui vaut -1[p]
b) les autres se regroupent par paires dont le produit est 1[p] : chacun de ces nombres est inversible [p].
Le nombre qui est =-1[p] est en fait son propre inverse[p]...

Bonsoir Djeffrey;
ce n'est pas la peine d'exclure le cas puisque

ce qu'il te faut savoir pour montrer cette implication c'est que lorsque est premier l'anneau est un corps.
c'est à dire que tout élément non nul admet un symétrique (non nul bien entendu)pour la loi (on dit aussi inverse)
ainsi le produit:
(qui est le produit de tous les éléments non nuls de ) comporte les éléments non nuls de ainsi que leur inverses que va-t-il se passer à ton avis?:
chaque élément qui n'est pas son propre inverse va se neutraliser avec son inverse et restera donc les éléments qui sont leur propres inverses c'est à dire les solutions de l'equation mais on les connait ces solutions puisque ou encore (n'oublies pas que tu es dans un corps) ainsi:

c'est à dire que
CQFD

ok, mais pourquoi "lorsque p est premier l'anneau (/p,+,x) est un corps" ?

Car si p est premiers tout les éléments de Z/pZ-{0} sont inversibles (et les autres conditions pour que ce soit un corps sont bien sur remplies)


Jord

Une bonne question,
que manque à cet anneau pour devenir un corps?
et bien que tout élément non nul ait un inverse
ce qui est propre à un nombre premier positif c'est d'^tre premier avec tous les entiers naturels non nuls qui lui sont strictement inférieurs c'est à dire avec soit l'un quelconque d'entre eux,l'identité de bezouth garantie l'existence de deux entiers relatifs et vérifiant par passage aux classes modulo on a que:
et donc que admet bien un inverse. CQFD

moais, ca reste un peut abstrait pour moi mais je vais essayer encre de comprendre...
Merci