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Conjecturer et raisonner par récurrence

Posté par
openmind2205 30-08-16 à 16:31

Bonjour à tous ,

1)Déterminer à partir de quel rang la propriété 2 ^n \geq (n+2)² semble vraie
2)Déterminer par récurrence que la propriété est vrai à partir du rang trouvé.

Alors pour le  1 je n'ai pas eu de souci. J'ai trouvé que la propriété semble vrai au rang 6.
puis concernant la question 2 j'ai pour l'instant fait ça :
On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, la propriété suivante P(n) : Un= 2^n \geq (n+2)²

Soit n \epsilon N. On suppose que P(n) est vraie et on démontre que P(n+1) est vraie c-à-d que Un+1 = 2^n+1 \geq (n+3)²
et après je patoge...
merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 16:38

Bonjour

C'est un bon début. Pour commencer l'hérédité, remarque que 2^{n+1}=2\times 2^n et commence à écrire...

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 17:08

du coup cela donne :
2^n+1 = 2*2^n \geq 2(n+3)²
                                    \geq 2 (n²+6n+9)
                                    \geq 4n²+12n+18
mais ensuite ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 17:12

Non, tu supposes que P(n) est vraie. Donc
2\times 2^n \geq 2\times (n+2)^2

Il te reste à montrer que 2(2n+2)^2\geq (n+3)^2

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 18:00

pourquoi avez vous mis 2(2n+2)² ? ce n'est pas plutôt 2(n+2)²

Posté par
carpediemre : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 18:16

salut

1/ comment as-tu trouvé ce rang ?

2/ répondre à la question 2/ donne la réponse à la question 1/

soit P(n)  :  2^n \ge (n + 2)^2

alors 2^{n + 1} = 2.2^n \ge 2(n + 2)^2

il faut donc déterminer les n tels que 2(n + 2)^2 \ge (n + 3)^2 qui est une banale inéquation du second degré ...


oui Camélia a fait fait un lapsus frapae ...

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 18:23

Bonsoir
1/ j'ai essayé à partir du rang 0 mais ca ne marchait pas puis j'ai remarqué qu'à partir de du rang 6 la propriété semble vraie soit  2⁶ = (6+2)²
                                                                                         64= 36+24+4
                                                                                         64=64
2/c'est ce que j 'ai fait :

2(n+2)² \geq (n+3)²
2(n²+4n+4) \geq n²+6n+9
4n²+8n+8 \geq n²+6n+9

Posté par
carpediemre : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 18:46

et pourquoi t'arrêtes-tu en si bon chemin ? (et c'est faux (dernière ligne))

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 18:54

veuillez pardonner mon erreur

2n²+8n+8\geq n²+6n+9
n² + 2n - 1 \geq 0
(n+1)²  \geq 0

est-ce bon?

Posté par
carpediemre : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 19:33

n² + 2n - 1 = = n² + 2n + 1 - 2 = (n + 1)^2 - 2

...

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 19:43

oui merci mais comment (n+1)²-2 peut montrer que la propriété semble vraie? j'ai vraiment du mal avec ce chapitre..

Posté par
carpediemre : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 19:53

pour que l'hérédité marche il faut que 2(n + 2)² > (n + 3)² ... donc on cherche pour quel n ça marche ...

si tu résous correctement ça marche à partir de n = 1

donc la propriété est héréditaire pour n >= 1

mais d'après la première question tu as vu que le premier n qui convient est 6

donc la propriété est vraie pour tout n >= 6

...

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 20:03

je n'arrive pas à trouver n=1 ...

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 20:03

à partir de l'inéquation..

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 20:05

(n+1)² -2 \geq 0
(n+1)² \geq 2

Posté par
carpediemre : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 20:09

un peu de sérieux ! n est un entier ...

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 20:15

oui..

Posté par
openmind2205re : Conjecturer et raisonner par récurrence 30-08-16 à 20:17

je sais qu'il s'agit d'un entier


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