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Bonjour,

Pour la question a), plutôt que de te contenter de dire « le résultat est XXX », mieux vaut dire ce que tu calcules. En effet, on te demande de faire deux calculs. Donc quand tu annonces le résultat, c'est lequel ? Celui du premier calcul ? Celui du deuxième ? C'est le prix que tu as payé au supermarché en faisant les courses la dernière fois ?
Il faut l'annoncer clairement : « 2²+2 = 4+2 = 6  et  3²-3 = 9-3 = 6 ---> on constate donc que 2²+2 = 3²-3 ».
Même rédaction pour les calculs suivants.

Pour la question b), une conjecture, c'est une affirmation que tu peux faire mais qui n'est pas démontrée, une idée que tu te fais à la lumière des résultats que tu peux observer (ce que tu appelles en SVT hypothèses, mais en maths, les hypothèses, c'est ce dont tu es sûr au début de ton problème... donc on appelle cela une conjecture).
Autrement dit, une conjecture, c'est une phrase qui commence généralement par « il semblerait que ... ».

Pour la question c), en fait il s'agit de la démonstration de ta conjecture.
— « la somme d'un nombre entier et de son carré » ---> si j'appelle n cet entier, son carré est n², donc la somme de ce nombre et de son carré est n+n²
— « la diffèrence du carré de son suivant et de ce suivant » ---> le nombre suivant n est n+1, son carré est (n+1)², donc la différence du carré de son suivant et de ce suivant et (n+1)²-(n+1)

Autrement dit, on te demande ici de montrer que n²+n = (n+1)²-(n+1).
Pour cela, tu commences ainsi :
« Calculons :
(n+1)²-(n+1) = (n+1)²-n-1 = ..........

On a donc montré que .......... »

Merci , le petit a est très clair , mais le petit b

Pour être peut-être plus clair, la définition du Larousse : « Hypothèse formulée sur l'exactitude ou l'inexactitude d'un énoncé dont on ne connaît pas encore de démonstration. »

Une conjecture, c'est donc un énoncé qu'on pense vrai (puisqu'à chaque fois qu'on a fait un calcul, jusqu'à présent, le résultat semblait vrai...), mais dont on est pas vraiment sûr (puisqu'on ne l'a pas encore démontré).

Par exemple, ici, sur les quelques calculs que tu as fait à la question a), tu peux penser qu'on a pour tout entier n l'égalité n²+n=(n+1)²-(n+1)... mais bon, tu n'en es pas vraiment sûr non plus, puisqu'après tout, rien ne prouve que c'est valable pour n=178... et si tu fais le calcul pour n=178, rien ne prouve que c'est encore valable pour n=57896511... et vu qu'il y a une infinité d'entiers, ça va être difficile de vérifier que ça marche pour tous les entiers en testant si ça marche pour tous !

Tu pourrais me montrer comment faire le premier et j'essaye le suivant ?

Le premier pour quoi ? Pour la question b) ? Il n'y a pas de « premier » à faire.
Il faut regarder l'ensemble des résultats obtenus à la question a), et essayer d'en déduire une propriété générale (que tu n'as pas encore démontrée, d'où le statut de conjecture).

Ça doit sauter aux yeux, d'ailleurs tu l'as remarqué : à chaque fois, les deux calculs qu'on te demande d'effectuer donne le même résultat. Donc il y a égalité entre ces deux expressions à calculer...
... si tu as dû mal à énoncer la conjecture, tu peux t'aider de la question c)...

Je me mélange , Parceque j'arrive pas a faire la conjecture

C'est que tu n'as pas dû bien comprendre ce qu'est une conjecture, parce que sinon ça te sauterait aux yeux vu ce que tu as écrit précédemment. Enfin faut dire aussi que je doute un peu de la clarté de mes propos...

Bref, si tu veux, la question « formuler une conjecture » peut être ici changée en « à votre avis, que peut-on dire de n²+n et (n+1)²-(n+1) » ?

Quand tu es en cours de bio', en TP, et que tu as une problématique et qu'on te demande de formuler une hypothèse qui pourrait répondre au problème, qu'est-ce que tu fais ? Eh bien en maths, c'est ce qu'on appelle formuler une conjecture, le terme « hypothèse » étant déjà pris pour désigner autre chose...

Donc si j'ai compris :
Il semblerait que n²+n et (n+1)²-(n+1) sont deux formules qui ont le meme résultat .

En effet, c'est ça qu'il suffisait de dire : les deux expressions semblent être égales !

Et, pour insister très lourdement, ceci n'est bien qu'une conjecture parce que tu ne l'as pas encore démontré. Pour l'instant, c'est juste un énoncé qui semble être vrai pour quelques valeurs de n, si tu prends n=12, n=42, n=1337... ça semble encore marcher. Donc on commence à y croire pas mal... mais a priori rien ne prouve que ça marche pour tout n, il faut pour cela une démonstration.
Et ensuite, une fois que ce sera démontré, ce ne sera plus une simple conjecture mais une propriété, éventuellement un théorème si c'est un résultat important, etc.

Merci =) Mais maintenant comment je l'a demontre ?

Il suffit de partir d'une des deux expressions et d'arriver à l'autre. Partir de n²+n pour arriver à (n+1)²-(n+1), ça semble un peu délicat... mieux vaut donc partir de (n+1)²-(n+1) et développer tranquillement en réduisant petit à petit.
Le résultat devrait venir assez rapidement !

2² +2 = (2+1)²-(2+1)
4 + 2 = 3² - 3
6 = 9 - 3
6 = 6
Comme cela ?

Non ! Là, tu démontres que 2²+2 = 3²-3 ! (Et encore, d'une façon un peu moche, vu qu'a priori tu ne sais pas s'il y a égalité au début, autrement dit il faut raisonner par équivalences... et c'est le genre de raisonnement/rédaction qu'il faut éviter pour le moment ! )

Bref, il faut le faire pour un entier n, n'importe lequel. Autrement dit faire ce que je t'ai dit dans mon précédent message :

(n+1)²-(n+1) = (n+1)²-n-1 = mais j'arrive pas a le calculer ;

C'est une identité remarquable : (a+b)² = a²+2ab+b².

Bonsoir tout le monde,
J'ai vraiment besoin d'aide là...jsuis en troisième et je comprends mais vraiment pas cet exercice que j'ai à faire en DM.Quelqu'un aurait l'aimable bonté de m'expliquer tout ça ?