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Construire une pyramide à base carrée
Bonsoir, le but du problème est de construire une pyramide à base carrée de plus grand volume à partir d'une feuille carrée de 18 cm de côté: Dans une feuille carrée de 18 cm de côté, on veut contruire le patron d'une pyramide SABCD qui aura un volume maximal.
La base ABCD est un carré de centre O, les arêtes issues du sommet S ont la même longueur et la droite (OS) est orthogonale au plan de la base. Ainsi, sur le patron, O est un centre de symétrie de la figure. Selon la position du point A sur le segment [OH], on obtient une pyramide plus ou moins "élancée". Sur le patron il y a 4 sommets du point S. H est le milieu du segment S1S2. Et donc AH = x.
Voici les questions: 2. On note x la longueur AH.
a) Calculer, en fonction de x, les longueurs OA puis AD. En déduire l'expression, en fonction de x, de l'aire de la base de la pyramide (je trouve OA=9-x et AD=(18-2x)/racine2 pour l'aire de la base:2x2-36x+162 EST CE JUSTE???
b) Calculer, en fonction de x, la longueur AS1 (Je trouve As1= racine (x^2+81))
Ensuite je bloque sur ces questions: En considérant, dans la figure de l'espace, le triangle rectangle SOA, démontrer que : OS = 3V2x3.
On définit une fonction f qui, à x, associe le volume de la pyramide S obtenue à partir du patron :
Montrer que f(x)= 2(9-x2)*racine 2x
Conjecturer avec la calculette une valeur approchée au dixième pour laquelle le volume semble maximum, construire le patron solution du problème.
Merci à vous pour votre aide qui m'aiderai beaucoup.
D'abord faire le dessin
a)OH = 9cm et OH = OA + AH = OA + x
donc OA = OH-x = 9 - x
dans un carré de coté "a" il faut savoir que la diagonale du carré vaut a
2
si on considère le carré ABCD: le côte c'est AD et la diagonale c'est 2*OA
donc 2*OA = AD2
donc AD = 2*OA/2 = OA2 = (2)(9 - x)
donc ce que tu trouves pour OA et AD est juste.
la base de la pyramide est un carré de côté AD donc l'aire de cette base est l'aire du carré = AD2 = 2(9 - x)2
b) AS12 = AH2 + HS12
avec HS1 = 9 et AH = x
donc AS12 = 81 + x2 donc AS1 = (81 + x2) donc tu as toujours juste 
Tout d'abord résumons ce que l'on a :
une pyramide à base carrée ABCD de côté = (2)(9-x)
et les arêtes de la pyramide SA = SB = SC = SD = (x2+81)
Ensuite, si je considère le triangle SOA rectangle en O, on a:
OS2+OA2 = SA2
OS2+(9-x)2 = x2+81
OS2 = 18x donc OS = (18x)
Trouvons maintenant le volume f(x) de la pyramide:
il faut savoir que le volume d'une pyramide = (1/3)(aire de base)(hauteur)
donc f(x) = (1/3)*2(9-x)2*OS = (1/3)*2(9-x)2*(18x) = (1/3)*2(9-x)2*3(2x) = 2(9-x)2(2x)
Bonjour,
merci à vous pour votre réponse claire et détaillée cela m'a bien aidé, c'est très gentil à vous
Bonjour,
La définition du volume d'une pyramide est:
f(x) = (1/3)*(aire de la base)*(hauteur de la pyramide)
avec:
aire de la base de la pyramide = aire du carré ABCD = AD2 = 2(9-x)2
et hauteur de la pyramide = OS = (18x) = 3(2x)
donc le volume de la pyramide f(x) = (1/3)[2(9-x)2][3(2x)] = 2(9-x)2(2x)]
sachant que 0 < x < 9 si tu te réfères au dessin qu'il faut faire au début pour représenter le patron sur la feuille, il ne te reste plus qu'à programmer à la calculette (oubien avec un tableur Excel) le calcul de f(x) pour x allant de 0 à 9 avec un pas de 0,1.
f(0,1) = ...
f(0,2) = ...
etc..
jusqu'à f(8,9)= ...
et de voir pour quelle valeur de x, tu obtiens la plus grande valeur de f(x).
tu dois trouver x = 9/5 donc x = 1,8cm
Bonjour,
je possède le même sujet et je ne comprends pas comment vous avez procédé car lorsque je fait cette équation , mon résultat est négatif se qui est incohérent. Pourriez, dans ce cas, si cela ne vous dérange pas, me montrer les étapes que vous avez fait.
Tout d'abord résumons ce que l'on a :
une pyramide à base carrée ABCD de côté = (
2)(9-x)
et les arêtes de la pyramide SA = SB = SC = SD =
(x2+81)
Ensuite, si je considère le triangle SOA rectangle en O, on a:
OS2+OA2 = SA2
OS2+(9-x)2 = x2+81
OS2 = 18x donc OS =
(18x)
erreur dans ton développement ou parce que tu utilises mal une opération qui n'existe pas ("faire passer")
faire passer n'est pas une opération
c'est le résultat d'une opération
c'est parce que on retranche ou bien ajoute une même quantité aux deux membres
explicitement
que au final on a l'impression que quelque chose est "passé" de la gauche à la droite
OS² + (9-x)² = x² + 81
OS² + 9² - 18x + x² = x² + 81 développement correct de (9-x)²
OS² = x² + 81 - x² + 18x - 9² je retranche x² et 9² aux deux membres et j'ajoute 18x aux deux membres
OS² = 18x et je simplifie
ne jamais utiliser directement un "faire passer" surtout si on ne le maitrise pas vraiment
c'est 99% de risque d'erreurs
de toute façon ton 2² n'a rien à faire là et est par contre totalement inexplicable.
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