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Niveau terminale
continuité
Posté par Antoine99
Bonjour
f et g continues R-->R
x 
Q, f(x) = g(x)
Mq x R f(x)=g(x) ****malou edit***
j'ai essayé un raisonnement par absurde mais ca ne donne rien, je sais aussi quelques propriétes comme Q est dense dans R, et je sens qu on va l?utiliser peut etre
Merci d'avance
Bonsoir,
Soit A 
-
est dense dans , pour tout n 
il existe an dans tel que |A-an| < 1/n
Mais on a :
|f(A)-g(A)| = |f(A)-f(an)+f(an)-g(A)-g(an)+g(an)|
Mais an 
f(an)= g(an)
Donc :
|f(A)-g(A)| = |f(A)-f(an)-g(A)+g(an)|
|f(A)-g(A)| = |(f(A)-f(an))-(g(A)-g(an))|
Et par inégalité triangulaire :
|f(A)-g(A)| 
|f(A)-f(an)| + |g(A)-g(an)|
De par la continuité de f et de g, pour tout 
> 0 tu peux trouver n tel que |f(A)-f(an)| < /2 et |g(A)-g(an)| < 2
Et tu as donc :
|f(A)-g(A)| <
étant aussi proche de 0 que tu le veux, tu as donc :
|f(A)-g(A)| = 0
f(A) = g(A)