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Continuité
Bonjour j'aurai besoin d'aide pour cette exercice je bloque pour le raisonnement par récurrence.
Énoncé:
Soient f la fonction continue et définie sur R par f(x)= et (Un) la suite définie par {U0=2 et Un+1=f(Un) pour tout n∈N.
1. Étudier les variations de f.
2. Résoudre l'équation f(x)=x.
3. a. Montrer, par récurrence, que (Un) est une suite positive et décroissante.
b. Déterminer alors lim Un lorsque n tend vers +
pour la 1 j'ai trouvée la dérivée de f(x) qui m'a permis de faire le tableau de variation où sur ]-;1/2] f est décroissante et sur [1/2;+
[ f est croissante.
2- f(x)=x
=x
x²-x+1=x²
x=1
3-a- alors pour la récurrence je ne sais pas comment m'y prendre pour prouver que la suite est à la fois positive et décroissante.
je pensais d'abord à ça : Un>Un+1>0.
donc pour l'initialisation on trouvait quelque chose de vraie car Uo=2 et U1=√3 ce qui fait que Uo>U1>0.
Mais pour l'hérédité je bloque donc je pense que ce n'est pas la bonne voie, je ne sais pas si quelqu'un pourrait m'aider merci d'avance.
Bonjour,
Pour l'hérédité tu sais dans quel intervalle sont Un et Un+1 (d'après l'hypothèse de récurrence) ensuite tu te sers de ton tableau de variation.
Bonjour, donc Un et Un+1 appartient à ]0;2] ?
Mais je n'arrive pas à voir le lien avec le tableau de variation car si je reporte cet intervalle sur le tableau la fonction est décroissante puis croissante sur ]0;2], comment dois-je utiliser mon tableau de variation svp?
Alors j'ai réussi à montrer par récurrence que 1<=Un<=2, mais j'ai du mal à le faire pour Un=>Un+1, on doit montrer que P(n+1) est vraies donc que Un+1=>Un+2
Donc:
U(n)=>U(n+1)
(U(n))²=>(U(n+1))²
(U(n))²-U(n)=>(U(n+1))²-U(n+1)
(U(n))²-U(n)+1=>(U(n+1))²-U(n+1)+1
√[(U(n))²-U(n)+1]=>√[(U(n+1))²-U(n+1)+1]
on a alors: U(n+1)=>U(n+2)
Est-ce que c'est bon ou pas du tout?
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