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continuité, convexité

Posté par
Nelcar
12-11-20 à 14:45

Bonjour,
voici l'exercice que j'ai à faire :
soif f la fonction définie sur par :
f(x) = x4+3x²-5x+1
1) calculer pour tout réel x, f '(x) puis f '' (x)
j'ai trouvé f '(x)= 4x3+6x-5
f ''(x)= 12x²+6   ou 6(2x²+1)
2) déterminer le signe de f '' (x) puis dresser le tableau de variation de f '
j'avais calculer f ''(0)=6   et f ''(1)= 18 donc pour moi le signe était positif
je suis perdue avec ce x puissance 4 j'ai un doute voici ce que j'ai fait avant d'aller plus loin dans cet exercice
x      -inifini                           1                         + infini
f '(x)    -                                 5                          +
f(x)     flèche descendante    jusque 5 puis remontante

Merci de me dire quoi

Posté par
Yzz
re : continuité, convexité 12-11-20 à 14:55

Salut,

Tu ne réponds pas aux questions posées, tu en inventes d'autres...

Citation :
1) calculer pour tout réel x, f '(x) puis f '' (x)
Tu as trouvé : f '(x)= 4x3+6x-5   et   f ''(x)= 12x²+6   ou 6(2x²+1)  : c'est parfait.
Puis :
Citation :
2) déterminer le signe de f '' (x) puis dresser le tableau de variation de f '
Tu dois donc étudier le signe de 12x² + 6. Il est évident, pourquoi ?
Ensuite, c'est le tableau de variations de f' que l'on te demande, pas celui de f  !

Posté par
carita
re : continuité, convexité 12-11-20 à 14:56

bonjour

1) calculer pour tout réel x, f '(x) puis f '' (x)  --- tes dérivées sont exactes

2) déterminer le signe de f '' (x) puis dresser le tableau de variation de f '  (pas de f)

pour le signe de f ''(x) : règle du trinôme d'une fonction du second degré

Posté par
carita
re : continuité, convexité 12-11-20 à 14:56

bonjour Yzz,
je te laisse poursuivre.

Posté par
Yzz
re : continuité, convexité 12-11-20 à 14:57

Salut carita  

J'ai du boulot, je te laisse !  

Posté par
Yzz
re : continuité, convexité 12-11-20 à 14:57

Arf !!! En même temps...  

Posté par
carita
re : continuité, convexité 12-11-20 à 15:01

ok, j'y garde un oeil, si Nelcar revient.
bon aprèm'

Posté par
Nelcar
re : continuité, convexité 12-11-20 à 15:30

bonjour à vous deux
d'abord pour la question 1 c'est bon je n'ai rien d'autre à faire ?
pour la 2)
Yzz me dit : Tu dois donc étudier le signe de 12x² + 6. Il est évident, pourquoi ?
une fonction carrée est toujours positive sur [0;+infini[ et strictement décroissante sur ]-infini ;0]
est-ce cela
j'ai calculer avec x=0 j'ai 6 et x=1 j'ai 18 donc on voit bien que la fonction est positive
carita : si je fais delta je trouve delta négatif donc <0 donc signe de a ici positif
pour le tableau de variation de f ' j'ai toujours galéré
x           - infini                       0                    1                + infini
f '(x)             -                         5                                   +

mais je galère pour ça
Merci avant de continuer cet exercice  

Posté par
carita
re : continuité, convexité 12-11-20 à 15:35

1)   justifier la dérivabilité ne serait pas inutile.

Posté par
carita
re : continuité, convexité 12-11-20 à 15:39

2)
Yzz me dit : Tu dois donc étudier le signe de 12x² + 6. Il est évident, pourquoi ?
une fonction carrée est toujours positive sur [0;+infini[ et strictement décroissante sur ]-infini ;0]  
----  positive, décroissante... tu ne mélanges pas un peu tout ici ?

x, x² 0
donc ...? continue ce raisonnement

sinon avec la règle du trinome, comme tu l'as fait.
mais bon, la méthode indiquée par Yzz est plus élégante, car ici le signe de 2x²+1 est immédiat.

Posté par
carita
re : continuité, convexité 12-11-20 à 15:42

pour le tableau de variation de f '... fais simple, vas à l'essentiel
à quoi correspondrait ce "1" ??

tu dois avoir 3 lignes :
une ligne pour les x
une pour le signe de f''
une pour la variation de f' (flèches)

Posté par
Nelcar
re : continuité, convexité 13-11-20 à 09:38

Bonjour à vous,
Carita : pour la question 1 :
je mets donc : f '(x)= 4x3+6x-5
f ''(x)= 12x²+6   ou 6(2x²+1)
f ''(x)= 12x²+6 est la somme de la fonction carrée (dérivable) et d'une fonction affine (dérivable)

pour la question 2)
carita : le 1 c'est lorsque la fonction f (x)=0 maintenant je ne sais plus je n'y compend plus rien dans mon tableau je met 0 ou 1 ?
voici mon tableau de variation :

x                     - infini             -1                   0                  1                       + infini

f ' (x)                                      -15                -5                 5        

f (x)                                             flèche descente jusque 5 puis remontante


Je continuerai l'exercice après avoir fait ces deux questions (j'ai toujours eu du mal avec le tableau de variation)

MERCI

Posté par
carita
re : continuité, convexité 13-11-20 à 10:40

bonjour Nelcar

1)
f '(x)= 4x³+6x-5
f ''(x)= 12x²+6   =  6(2x²+1)

f ''(x)= 12x²+6 est la somme de la fonction carrée (dérivable) et d'une fonction affine (dérivable)
euh, ceci est pour justifier quoi ? si  c'est pour le signe, non.
si c'est pour justifier que f '' est dérivable, non seulement c'est mal formulé, mais c'est inutile : on ne va pas dériver f ''

==> 2x² + 1  est la somme de deux termes ...? donc, x,  la somme est toujours ...?
étude du signe terminée.

2)
le 1 c'est lorsque la fonction f (x)=0 --- oui, mais il sort de quel chapeau magique ?
et en quoi cela nous intéresse pour la variation de f ' ? (à rien)

le 0, tu peux le laisser si tu veux sur l'axe des x, mais il n'intervient pas dans l'analyse

et le -1 ....

ton tableau de variation est fantaisiste : je t'ai dit les lignes qu'il doit contenir,
tu n'en as pas tenu compte...

il semblerait que tu n'aies pas bien compris le cours.
petit topo récapitulatif :
pour étudier une fonction g
- on établit g '(x)
- on étudie le signe de g '(x)   : recherche d'une éventuelle racine, puis signes
- selon les intervalles de signes de g '(x), on déduit la variation de g
et on condense ces infos sur un tableau de variation (avec des signes + ou - et des flèches qui montent ou descendent)

\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & a & & +\infty & \\ {signe\quad de\quad g '(x)} & & + & 0 & - & & \\ {variation\quad de\quad g(x)} & & \nearrow & & \searrow & & \end{array}

==> ceci est un exemple !
dans CET exemple, on a une racine "a" qui annule la dérivée,
mais dans ton exo, vu que f ''(x) est toujours ....? quel unique signe il va y avoir sur la seconde ligne ?

Posté par
Nelcar
re : continuité, convexité 13-11-20 à 12:42

Bonjour Carita,
donc pour le 1)
je peux mettre :
f '(x)= 4x3+6x-5
f ''(x)= 12x²+6   ou 6(2x²+1)

Un carré est toujours positif.
2x²+1 est la somme de deux termes positifs, donc est positif.

2) comme f '' est toujours positif il n'y aura qu'un signe le +
si je fais le tableau
oici mon tableau de variation :

x            - infini                je ne sais pas ce que je dois mettre                + infini

f ' (x)                                                   0                                        +    

f (x)                                             flèche  montante

je suis perdue
MERCI

Posté par
carita
re : continuité, convexité 13-11-20 à 12:57

1) ok

2) comme f '' est toujours positif il n'y aura qu'un signe le +   ---- exact

c'est quand même drôle que tu persistes à mettre f ' et f dans les lignes de ton tableau !

2) déterminer le signe de f '' (x) puis dresser le tableau de variation de f '
depuis le début, on répète que c'est f '' et f '... têtu, nan ?

x            - infini               0                + infini

f '' (x)                                +    

f '(x)                 flèche  montante


et c'est presque  tout pour ce qui est demandé
(reste à préciser les limites de f '(x) aux bornes des infinis)
d'accord ?

Posté par
Nelcar
re : continuité, convexité 13-11-20 à 17:38

Re,
Carita, je ne comprend pas pourquoi il fut mettre f ' et f '' dans le tableau car dans la question il est noté : déterminer le signe de f ''(x) puis dresser le tableau de variation de f '
donc le tableau est ce que tu m'as mis à savoir :
x            - infini               0                + infini

f '' (x)                                +    

f '(x)                 flèche  montante

petite question dans quel cas met-on f '' (x) ou pas dans le tableau de même pour f '(x). Merci
de ta réponse

pour les limites j'ai du mal aussi là je dirai lim x puissance 4 + 3x²-5x+1 = + infini
                                                                     x+ infini

je continue donc cet exercice
3 a) montrer que l'équation  f '(x) = 0 possède  une unique solution sur donc on donnera un encadrement à 0,1 près

je ne sais pas trop quoi faire (pas tout compris)
si je fais delta je trouve 36 donc racine de 36 = 6 x= -0,5 l'autre 0
je ne comprend pas pourquoi -0,5 si je remplace x par cette valeur dans f je trouve 4,1875 ce qui voudrait dire (je pense) que pour avoir f '(x)=0  admet une unique solution ]-0,5 ; + infini{ ensuite il faut calculer la valeur sur la calculatrice mais avant d'aller plus loin j'aimerai avoir des explications sur cette partie.
MERCI

Posté par
carita
re : continuité, convexité 13-11-20 à 17:55

je ne comprends pas pourquoi il faut mettre f ' et f '' dans le tableau car dans la question il est noté : déterminer le signe de f ''(x) puis dresser le tableau de variation de f '.
dans quel cas met-on f '' (x) ou pas dans le tableau de même pour f '(x).


tout simplement parce que dans un tableau de variation, il est d'usage de présenter
le signe de la dérivée ET la variation de la fonction
puisque la seconde dépend directement de la première : c'est le signe de la dérivée qui justifie les flèches dans le tableau.

de la même façon :
** si tu étudies la variation de g, tu présentes le signe de g ' (sa dérivée)  ET la variation de g
** si tu étudies la variation de h ' , tu présentes le signe de h '' (sa dérivée) ET la variation de h'

est-ce plus clair ?

\lim_{x\to +\infty} f '(x) = +\infty    oui, écris-la sur le tableau de variation

et \lim_{x\to -\infty} f '(x) =  ...?

montre comment tu fais si tu as des difficultés.

3 a) montrer que l'équation  f '(x) = 0 possède  une unique solution sur donc on donnera un encadrement à 0,1 près

si je fais delta je trouve 36 donc racine de 36 = 6 x= -0,5 l'autre 0

==> ah ? tu calcules un discriminant sur du degré 3 ? ça ne risque pas de marcher... ^^

cette question se prête bien à une application du T.V.I

Posté par
Nelcar
re : continuité, convexité 13-11-20 à 21:14

Re,
ok je pense que c'est un peu plus clair. MERCI
pour le tableau
donc le tableau est ce que tu m'as mis à savoir :
x            - infini               0                + infini

f '' (x)                                +    

f '(x)                 flèche  montante           + infini

lim  f '(x)                                          = + infini
x+ infini

lim  f '(x)                                          = + infini
x- infini

pour le 3) j'avais fait delta avec f '' (vu qu'il y avait un carré)
Oui je me doutais que c'était une application  T.V.I mais je n'y arrive pas
trois hypothèse
f '(x) admet une unique solution sur [o; + infini[
*  f '(x) est dérivable donc elle est continue sur [0;+ infini[
*f '(x) est strictement croissante sur [0;+infini[
* f '(0) = -5 et lim  f '(x)                                          = + infini
                      x- infini

donc 0[-5 ; + infini [ donc d'après le corollaire du TVI l'équation f '(x)=0 admet une unique solution sur [0  ; +infini[
en "bricolant " car je ne sais pas comment on fait l'encadrement sur ma casio graph 100+ donc j'ai trouvé 0,6<<1,7

Merci pour cette suite.

Posté par
Yzz
re : continuité, convexité 14-11-20 à 07:02

Salut,

Tu ne vois pas une incohérence ici ?

Citation :
f '(x)                 flèche  montante           + infini

lim  f '(x)                                          = + infini
x+ infini

lim  f '(x)                                          = + infini
x- infini

Ton applcation du TVI est correcte, mais ton encadrement de ne convient pas "un encadrement à 0,1 près"signifie que l'écart entre les deux valeurs doit être de 0,1.
Tape "Table de valeurs avec une CASIO graph 100+" sur ton moteur de recherche, et ouvre le premier doc (c'est un pdf de l'université de Lyon)

Posté par
Nelcar
re : continuité, convexité 14-11-20 à 11:41

Bonjour Yzz,
J'ai fait une erreur donc mon encadrement j'avais bien trouvé 0,6<<0,7
Merci pour l'info pour la calculatrice je vais y regarder.
Je n'y comprend plus, mon prof avait mis que le groupe 2 (dont moi) devait faire cet exercice pour lundi (semaine que je vais en présentiel) et là il a mis en pièces jointes des exercices corrigés dont celui-ci. Il m'est 4 exercices à faire (surtout sur les dénombrements que je n'ai pas vu). Je vais mettre sur ce site un exercice à la fois pour voir ce que je sais faire en regardant un peu partout sur internet.

Un grand MERCI pour ton aide et peut-être sur les autres exercices

Posté par
Yzz
re : continuité, convexité 14-11-20 à 12:51

Moi-même je me prends aussi les pieds dans le tapis, avec les groupes et les jours...
A plus !    

Posté par
Nelcar
re : continuité, convexité 14-11-20 à 14:55

Re,
oui pas évident tout ça.
J'ai mis un exercice sur les proba, je patauge carrément si tu peux y jeter un oeil.

MERCI (et bon week-end)

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