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continuité convexité et fonctions

Posté par
rabreda
31-10-13 à 11:42

Propagation d'une maladie

Une epidemie a frappe les habitants d'une ville.
Le nombre de personnes malades en fonction du temps t, en jour, peut etre modelise par la fonction f, definie sur l'intervalle [0;30] par : f(x)= -t3+30t2.
La vitesse de propagation de la maladie au jour t est assimilee au nombre derive f'(t).

1) Etudier le sens de variation de la fonction f.
Ma reponse : f(x)=-t3 +30t2
f'(x)= -3t2+30*2t
     = -3t2+60t
delta= (b)2-4ac
     = (60)2-4*12*0
     = 3600
delta>0
x1= b-Vdelta/2a= 60-V3600/2*3= 60-60/6=0
x2= b+Vdelta/2a= 60+V3600/2*3= 60+60/6= 20

tableau:
x      0           20              30
f'(x)       +      o       -
f      croissante     decroissante

2) Determiner le nombre de solutions sur [0;30] de l'equation f(t)= 2000
determiner un encadrement a l'entier pres de la solution non entiere.
Reponse: je sais que les solution sont 10 et a peu pre 27 ou 28 car on le voit sur le graphique mais je ne sais pas comment faire.

3) a) Calculer la derivee seconde f"(t).
reponse: f(x)= -t3+30t2
         f'(t)= -3t2+60t
         f"(t)= -6t+60
b) Etudier le sens de variation de la derivee f'.
En deduire la convexite de la fonction f et en donner une interpretation.
Reponse: f"(t) >0 <=> -6t+60 >0
                  <=> -6t> -60
                  <=> t< 60/6
                  <=> t < 10
sur [0;10] la courbe est convexe entre le premier et le 10eme jour il y a une forte propagation de la maladie car la courbe croit.

c) Demontrer que la courbe C admet un point d'inflexion. En donner une signification concrete.
Reponse: f"(t)=0 <=> -6t+60=0
                     -6t=-60
                       t= 60/6
                       t= 10
La derivee seconde s'annule et change de signe en 10. Donc la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse 10.
A partir du 10eme jour on a une croissance ralentie de la propagation de la maladie.

d)Calculer la vitesse de propagation de la maladie le 10eme jour.
Reponse: f'(t)= -3(10)2+60*10
              = -3*100+600
              = -300+600
              =300
La vitesse de propagation de la maladie est de 300.
Merci de bien vouloir m'aider et de me signaler mes erreur pour pouvoir les corriger.

Posté par
sapeurpompier44
re : continuité convexité et fonctions 31-10-13 à 13:48

Salut,

1) Pour delta je suis d'accord (bien que ce soit (60)^2-4\cdot(-3)\cdot0 )

Parcontre attention c'est -b+ .. et non b +

t_{1 2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Posté par
rabreda
re : continuité convexité et fonctions 01-11-13 à 10:55

donc la reponse de x1 et x2 serait -20 et 0 mais ca va plus avec mon graphique aussi parce que j ai une courbe qui croit a partir de 0 et qui decroit apres a partir de 20

Posté par
sapeurpompier44
re : continuité convexité et fonctions 01-11-13 à 16:04

Normalement tu trouve aussi 0 et 20 mais c'est juste que ta formule n'était pas bonne

Posté par
sapeurpompier44
re : continuité convexité et fonctions 01-11-13 à 16:07

Ton tableau de variation est correct

Posté par
rabreda
re : continuité convexité et fonctions 02-11-13 à 13:15

Faudrait que je le fasse avec les dérivées usuelles pour trouver les bon chiffres parce que je ne vois pas comment faire autrement que delta?

Posté par
rabreda
re : continuité convexité et fonctions 02-11-13 à 13:33

Merci d ´Avoir répondu et est e que mes autres question sont correctes ? Merci de bien vouloir répondre et de m indiquer ce qui éventuellement ne vas pas.

Posté par
sapeurpompier44
re : continuité convexité et fonctions 02-11-13 à 19:32

Citation :
2) Determiner le nombre de solutions sur [0;30] de l'equation f(t)= 2000
determiner un encadrement a l'entier pres de la solution non entiere.
Reponse: je sais que les solution sont 10 et a peu pre 27 ou 28 car on le voit sur le graphique mais je ne sais pas comment faire.


La fonction f est strictement croissante sur ]0;20[ a valeur dans ]0;4000[ donc admet une solution sur cet intervalle pour f(x)=2000 (car 2000\in ]0;4000[. (De même pour l'autre solution)

Posté par
rabreda
re : continuité convexité et fonctions 03-11-13 à 10:32

mais ca ne me donne pas les solutions aussi ?

Posté par
sapeurpompier44
re : continuité convexité et fonctions 03-11-13 à 11:31

Non ca te dis qu'il y a deux solutions et ensuite tu regarde un encadrement sur ta calto.

Posté par
03UIRHlola
re : continuité convexité et fonctions 28-12-21 à 19:00

***Le site a détecté un multicompte***Situation à régulariser***cf Q29 de la FAQ : [lien]


Bonjour j'ai un exercice un peu similaire, j'aimerai avoir une correction et j'ai une question sur une partie.
f(t)=-t^3+30t
1)nombre de malade au 6ème jour : f(6)= (-6)^2+30*6^2=1296 malades le 6ème jour.
2)dérivée f = -3t^2+60t
3) Déterminer une équation de la tenante de la courbe f au point d'abscisse 10. On la note F
F=300x-1000
4) Sur la calculatrice tracer la courbe de la fonction et la droite F. Enoncer une conjecture sur la position relative de la courbe C par rapport à la droite F.  
On  l'impression que la tenante suit l'allure de la courbe.
5) Demontrer que f(t)-(300t-1000)=-(t-10)^3
J'ai trouvé : -t^3+30t-300t+1000=-t^3+30t^2-300t+1000
Donc les deux expressions sont égales mais je n'arrive pas à faire le lien avec ma conjecture. Merci

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 31-12-21 à 10:33

Bonjour j'ai le même exercice que la personne qui a posté le message précédent, j'ai compris le questions précédente mais je bloque sur la conjecture à faire. J'ai réussi à developper le calcul mais pareil je ne vois pas le lien.  Merci par avance

Posté par
hekla
re : continuité convexité et fonctions 31-12-21 à 10:40

Bonjour

Quel est votre profil   exactement  ? Vous postez en terminale et vous indiquez première.

Qu'avez-vous effectué ?  

Posté par
malou Webmaster
re : continuité convexité et fonctions 31-12-21 à 10:55

Albanmaths2, ferme ton compte 03UIRHlola s'il te plaît

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q29 - Avoir plusieurs comptes est-il autorisé ?

Posté par
malou Webmaster
re : continuité convexité et fonctions 31-12-21 à 16:57

Merci d'avoir fermé ton autre compte.
Le sujet peut reprendre.

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 14:22

Bonjour j'ai un exercice un peu similaire, j'aimerai avoir une correction et j'ai une question sur une partie.
f(t)=-t^3+30t
1)nombre de malade au 6ème jour : f(6)= (-6)^2+30*6^2=1296 malades le 6ème jour.
2)dérivée f = -3t^2+60t
3) Déterminer une équation de la tenante de la courbe f au point d'abscisse 10. On la note F
F=300x-1000
4) Sur la calculatrice tracer la courbe de la fonction et la droite F. Enoncer une conjecture sur la position relative de la courbe C par rapport à la droite F.  
On  l'impression que la tenante suit l'allure de la courbe.
5) Demontrer que f(t)-(300t-1000)=-(t-10)^3
J'ai trouvé : -t^3+30t-300t+1000=-t^3+30t^2-300t+1000
Donc les deux expressions sont égales mais je n'arrive pas à faire le lien avec ma conjecture. Merci
Je vous prie de m'excuser pour le problème de compte, mais devenons-nous garder le même aussi quand nous allons sur la rubrique physique ?

Posté par
hekla
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 14:45

Bonjour

Vous n'avez pas répondu à ma question : première ou terminale ?

Si vous êtes en première il eut été préférable d'ouvrir un autre sujet maintenant, c'est trop tard donc on continue ici.  

Quel est le texte -t^3+30t^2 ?


Question 1 f(6)=-6^3+30\times 6^2=

Question 2 oui si f(t)=-t^3+30t^2

Qu'est-ce qu'une tenante ? Je connais touchante ou tangente

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 15:03

C'est bien tentante excusez moi et je suis en première je ne savais pas qu'il fallait ouvrir un autre sujet.

f(t)=-t^3+30t^2, cette fonction modélise le nombre de malades en fonction du temps t
Question 1 f(6)=-6^3+30\times 6^2= 864
Question 2 donc la dérivée f = -3t^2+60t est d'ailleurs bien dérivable sur 0,30 inclus car elle est dérivable sur R
Question 3 Déterminer une équation de la tangente de la courbe f au point d'abscisse 10. On la note F
F=300x-1000

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 15:08

Question 4 : Combien de jours dure l'épidémie ?
Elle dure 30 jours
Question 5 : Sur la calculatrice tracer la courbe de la fonction et la droite F. Enoncer une conjecture sur la position relative de la courbe C par rapport à la droite F.  
On  l'impression que la tenante suit l'allure de la courbe.
Question 6 : Demontrer que f(t)-(300t-1000)=-(t-10)^3
J'ai trouvé : -t^3+30t-300t+1000=-t^3+30t^2-300t+1000

Posté par
hekla
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 15:14

Non F est son nom ce n'est pas une équation de courbe  équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 10

y=f'(10)(t-10)+f'(10)

f'(10)=-3\times (10)^2+60\times10=300

f(10)=-10^3+30\times10^2=2000

y=300t-1000

4) Quelle conjecture ?

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 15:29

Conjecture : on dirait que la droite F est parallèle à l'axe de symétrie de la courbe C

Posté par
hekla
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 15:45

Les graphiques
continuité convexité et fonctions

Quelle conjecture sur les positions des deux courbes

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 16:18

Ah oui pardon,
on a l'impression que la tangente  passe par plusieurs points de la courbe

Posté par
hekla
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 16:22

C'est justement une interprétation de la tangente dans un petit voisinage autour de 10 on va pouvoir confondre la courbe et sa tangente

On peut dire que la tangente est la meilleure approximation affine de la fonction au voisinage de ce point

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 16:27

D'accord et ensuite on me demande de démontrer  que f(t)-(300t-1000)=-(t-10)^3 et à partir de la je dois refuser ou valider la conjecture. Donc après développement les deux expressions sont bien égales et la conjecture est vérifiée.
Mais je pense que ce n'est pas suffisant pour répondre à la question non ?

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 16:32

Il est peut être interessant de remarquer que pour t=10, on trouve
-10+30*10^2-300*10+1000=0

Posté par
hekla
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 16:42

On vous demande d'examiner la position de la courbe par rapport à sa tangente

On peut donc supposer que si t<10 la courbe est au-dessus de la tangente et pour t>10 la courbe est en dessous de la tangente

Vous avez  f(t)=(300t-1000)=(t-10)^3


le signe de ceci est le signe de t-10 donc

si  t<10 \quad f(t)-(300t-1000)<0 Par conséquent l'ordonnée du point de la courbe est plus petit que l'ordonnée du point de la droite de même abscisse
La courbe est donc en dessous de la tangente
vous faites de même pour t>10

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 17:17

Si t>10  f(t)  alors f(t)-(300t-1000)>0 donc l'ordonnée du point de la courbe est plus petit que l'ordonnée du point de la droite de même abscisse. La courbe est donc en dessus de la tangente

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 17:21

Non pour le message précédent
Si t>10  f(t)  alors f(t)-(300t-1000)>0 donc l'ordonnée du point de la courbe est plus grand que l'ordonnée du point de la droite de même abscisse. La courbe est donc en dessus de la tangente

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 17:23

Cela ne correspond pas à ce que l'on observe sur le graphique

Posté par
hekla
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 17:39

Oui, car j'ai oublié un signe -   c'était -(t-10)^3

c'est donc du signe de 10-t On retombe bien sur ce que l'on voulait montrer

J'avais aussi répondu sans regarder le dessin

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 17:55

le signe de ceci est le signe de 10-t donc
si  t<10   f(t)-(300t-1000)>0 Par conséquent l'ordonnée du point de la courbe est plus grand que l'ordonnée du point de la droite de même abscisse
La courbe est donc en dessus de la tangente

Si t>10  f(t)  alors f(t)-(300t-1000)<0 donc l'ordonnée du point de la courbe est plus petit que l'ordonnée du point de la droite de même abscisse. La courbe est donc en dessous de la tangente

Posté par
hekla
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 18:10

D'accord, désolé pour l'erreur

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 18:27

Non aucun problème merci beaucoup pour votre aide.
La dernière question vise à modéliser la situation : Comparer la progression du nombre de nouveaux malades chaque jour avant le 10ème avec celle après le 10ème jour.
J'ai fait un tableau pour chaque jour avec les valeurs et j'ai dit que jusqu'au jour 10 le nb de malades augmente avec une moyenne de 200malades/j, au jour 10 c'est le maximum de malades. Puis jusqu'au jour 20, le nb diminue et enfin du jour 20 à 30, le nb de malades est négatif donc les gens guérissent. Est-ce une bonne manière de modéliser la situation ?

Posté par
hekla
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 18:48

Jusqu'à 10 le nombre de malades croît, car dérivée positive ensuite le nombre de malades croît encore, la dérivée est toujours positive, mais plus lentement, après 20 le nombre de malades décroît, dérivée négative Ce n'est qu'après 30 qu'il n'y a plus de malades  

Posté par
Albanmaths2
re : continuité convexité et fonctions 02-01-22 à 22:10

Ok super merci beaucoup pour votre super aide et bonne soirée !



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