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continuité d'une fonction, suites et convergence

Posté par
coquillettee
04-05-21 à 16:02

Bonjour à vous tous, je cherche de l'aide pour un exo. J'ai du mal à faire la dernière question de cette exo.
Enoncé : Pour tout entier naturel n non nul, on définit sur R la fonction fn par
fn(x) = e^x −nx
La question 1 consistait à chercher les limites : limite en plus l'infini = plus l'infini
limite en moins l'infini = plus l'infini
La question 2 consistait à trouver le minimum de la fonction => n(1 − ln n)
La question 3 consistait à prouver que fn(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; 1] pour tout entier n > 3.
la question 4 est a) Soit un entier n > 3. Montrer que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 1] on a fn(x) > fn+1(x).
En appliquant ce résultat à x = αn+1, montrer que αn+1 6 αn.
b) Démontrer que la suite (αn)n>3 est convergente. On notera l sa limite.
c) Montrer que pour tout entier n > 3, αn =e^αn/n. En déduire la valeur de l.

J'ai réussi les 3 premières question ainsi que la 4a).
Pour la 4b) il faut prouver qu'elle est convergente, on sait qu'elle est décroissante mais je sais pas comment prouver qu'elle est minorée.
Pour la 4c) si on remplace x par αn et qu'on résout e^αn −nαn=0 on trouve le bon résultat mais jsp si c'est ça.

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
LeHibou
re : continuité d'une fonction, suites et convergence 04-05-21 à 17:34

Bonjour,

Sans avoir tout vérifié, puisquetu as montré que tes solutions sont dans [0 ; 1], est-ce que tout simplement tes n seraient minorés par 0 ?

Posté par
coquillettee
re : continuité d'une fonction, suites et convergence 04-05-21 à 18:06

Bonjour,

En effet je n'y avais pas pensé. Donc αn est décroissante et minorée par 0 ainsi la suite  (αn)n>3 converge bien vers un réel. Merci à vous

Avez vous une idée pour la 4c) ? car jsp comment faire

Posté par
LeHibou
re : continuité d'une fonction, suites et convergence 04-05-21 à 18:35

C'est exactement ce que tu as fait, n est solution de fn(x) = 0 donc en = n.n donc n = (en)/n
Pour la limite c'est alors immédiat car n < 1 donc n < (e1)/n et tu conclus

Posté par
coquillettee
re : continuité d'une fonction, suites et convergence 04-05-21 à 18:58

D'accord merciiiii
Merci d'avoir pris le temps, bonne soirée à vous

Posté par
LeHibou
re : continuité d'une fonction, suites et convergence 04-05-21 à 20:11


Pour le dire plus joliment, tu as :
0 n < e/n
Et tu conclus avec le célèbre théorème des gendarmes

Bonne soirée à toi aussi !



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