Bonjour à vous tous, je cherche de l'aide pour un exo. J'ai du mal à faire la dernière question de cette exo.
Enoncé : Pour tout entier naturel n non nul, on définit sur R la fonction fn par
fn(x) = e^x −nx
La question 1 consistait à chercher les limites : limite en plus l'infini = plus l'infini
limite en moins l'infini = plus l'infini
La question 2 consistait à trouver le minimum de la fonction => n(1 − ln n)
La question 3 consistait à prouver que fn(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; 1] pour tout entier n > 3.
la question 4 est a) Soit un entier n > 3. Montrer que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 1] on a fn(x) > fn+1(x).
En appliquant ce résultat à x = αn+1, montrer que αn+1 6 αn.
b) Démontrer que la suite (αn)n>3 est convergente. On notera l sa limite.
c) Montrer que pour tout entier n > 3, αn =e^αn/n. En déduire la valeur de l.

J'ai réussi les 3 premières question ainsi que la 4a).
Pour la 4b) il faut prouver qu'elle est convergente, on sait qu'elle est décroissante mais je sais pas comment prouver qu'elle est minorée.
Pour la 4c) si on remplace x par αn et qu'on résout e^αn −nαn=0 on trouve le bon résultat mais jsp si c'est ça.

Merci d'avance pour vos réponses.