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Continuité d'une fonction sur un intervalle

Posté par
Mathes1
15-11-20 à 21:11

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Étudier la continuité de la fonction f sur l'intervalle I dans chacun des cas suivants :
1)
\begin{cases} f(x)=\dfrac{2-\sqrt{x}}{x²-2x}, & \text{si } x \geq 4 \\ f(4)=\dfrac{-2}{3} & I=[4;+\infty[ \end{cases}
2)
\begin{cases} f(x)=x²-4x+5, & \text{si } x<3 \\ f(x)=\sqrt[3]{5x-7}, & \text{si} x\geq3 \\ I=IR \end{cases}
Ce que je comprends est :
Je dois calculer la limite x tend vers 4 pour le 1er cas et il faut trouver -2/3 pour dire qu'il est continue ?
Pour la 2ème  je pense que je dois calculer la limite à gauche et à droite de 3
Merci beaucoup d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Continuité d'une fonction sur un intervalle 15-11-20 à 21:47

Bonsoir, pour1) la première définition est surement pour x <4 ?

Citation :
Je dois calculer la limite x tend vers 4 pour le 1er cas et il faut trouver -2/3 pour dire qu'il est continue ?
Pour la 2ème je pense que je dois calculer la limite à gauche et à droite de 3


oui tout à fait. il n'y a plus qu'à !

Posté par
Mathes1
re : Continuité d'une fonction sur un intervalle 15-11-20 à 22:00

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Pour la 1er x≥4
\lim_{x \to 4} \dfrac{2-\sqrt{x}}{x²-2x}=0
(Ce n'est pas une forme indéterminée)
Et puisque \lim_{x \to 4} f(x)\neq f(4)   alors la fonction f n'est pas continue en 4
Merci beaucoup

Posté par
Glapion Moderateur
re : Continuité d'une fonction sur un intervalle 15-11-20 à 23:30

oui sauf que tu ne peux pas avoir deux définitions de fonction pour x 4 donc ou bien c'est une erreur de copie et la première définition est pour x < 4 ou alors il y a une problème d'énoncé.

Posté par
Mathes1
re : Continuité d'une fonction sur un intervalle 16-11-20 à 07:23

Bonjour
Oui il y a un problème d'énoncé
Si je calcule la limite à gauche et à droite de 4 je trouve la même chose
\lim_{x \to 4+} f=\lim_{x \to 4- } \neq f(4)
Donc la fonction n'est pas continue en 4

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Continuité d'une fonction sur un intervalle 16-11-20 à 08:00

Bonjour,
Je ne fais que passer.
Pour le problème d'énoncé dans 1), j'ai l'impression qu'il faut simplement remplacer le \; \geq \; par \; > \; :

Étudier la continuité de la fonction f sur l'intervalle I.

I=[4;+\infty[
\begin{cases} f(x)=\dfrac{2-\sqrt{x}}{x²-2x}, & \text{si } x > 4 \\ f(4)=\dfrac{-2}{3} &  \end{cases}

Posté par
Mathes1
re : Continuité d'une fonction sur un intervalle 16-11-20 à 13:12

Bonjour à tous,
Merci beaucoup à tous
Vous avez strictement raison
\lim_{x \to 4_+} \dfrac{2-\sqrt{x}}{x²-2x}=0
D'où f n'est pas continue en 4
2)
\lim_{x \to 3-} x2-4x+5=32-4×3+5=9-12+5=2
\lim_{x \to 3+ } \sqrt[3]{5x-7}
 \\ =\sqrt[3]{15-7}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=\red{2}
Puisque \lim_{x \to 3+ }= \lim_{x \to 3- } =f(3)=2
Alors la fonction est continue en 3
Merci beaucoup

Posté par
Glapion Moderateur
re : Continuité d'une fonction sur un intervalle 16-11-20 à 13:13

oui c'est tout bon.

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