Niveau terminale

Continuité de fonction.

Posté par
matheux14 09-12-20 à 15:44

Bonjour ,

Merci d'avance.

S'il y a des imperfections..

Soit f la fonction définie sur $\R$ par :

$\begin{cases} f(-1)=-\dfrac{1}{2} \\ \\ \\ f(x)=\dfrac{\sqrt{3x²+1}-2}{x^{3}+1} ~ , ~ \text{si} ~x\neq -1 \end{cases}$

Démontrer que f est continue en -1.

Réponses

On a f(-1)=-1/2

Calculons $\lim_{x\to-1}f(x)$

$\forall x \in \R \setminus\{-1\}$ , $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x²+1}-2}{x^{3}+1}$

$=\dfrac{(\sqrt{3x²+1}-2)((\sqrt{3x²+1}+2)}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)}$

$=\dfrac{3x²+1-4}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)}$

$=\dfrac{3x²-3}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)}$

$=\dfrac{3(x²-1)}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)}$

$=\dfrac{3(x²-1²)}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)}$

$=\dfrac{3(x-1)(x+1)}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)}$

$=\dfrac{3(x-1)(x+1)}{(x+1)(x²-x+1)(\sqrt{3x²+1}+2)}$

$f(x)=\dfrac{3(x-1)}{(x²-x+1)(\sqrt{3x²+1}+2)}$

Donc $\lim_{x\to-1}f(x)=-\dfrac{1}{2}=f(-1)$

f est donc continue en -1.

Posté par re : Continuité de fonction. 09-12-20 à 16:49

salut
ça me parait nickel
carpediem (expert en imperfections) tu confirmes ?

Posté par re : Continuité de fonction. 09-12-20 à 17:36

sut

je n'aurai pas dit mieux ... mais allez soyons perfectible !!!

pourquoi ne pas traiter simultanément x^2 - 1 et x^3 + 1 ? pour gagner une si ce n'est deux étapes en regroupant les trois avant dernières lignes en la seule avant dernière ligne

et "apprendre" le calcul en ligne accessoirement ... :

ne pas oublier qu'on s'adresse à un mathématicien !!

matheux14 @ 09-12-2020 à 15:44

S'il y a des imperfections..

On a f(-1)=-1/2 sans intérêt pour l'instant : on verra plus tard ce qu'on fera de cette information qui nous servira u moment opportun (donc lors de la conclusion)

Calculons $\lim_{x\to-1}f(x)$ blabla : je m'en doute car je suis mathématicien et je pense ou j'espère que ton prof l'est aussi

et je connais la définition d'une fonction continue (en un point) donc je sais ce qu'il faut faire pour répondre à la question !!!

$\forall x \in \R \setminus\{-1\}$ , je l'écrirai plutôt en français : pour tout x différent de -1 :

$f(x)=\dfrac{\sqrt{3x²+1}-2}{x^{3}+1} =\dfrac{(\sqrt{3x²+1}-2)((\sqrt{3x²+1}+2)}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)} =\dfrac{3x²+1-4}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)} =\dfrac{3x²-3}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)} =\dfrac{3(x²-1)}{(x^{3}+1)(\sqrt{3x²+1}+2)} = \\ \\ \dfrac{3(x-1)(x+1)}{(x+1)(x²-x+1)(\sqrt{3x²+1}+2)} =\dfrac{3(x-1)}{(x²-x+1)(\sqrt{3x²+1}+2)}$

Donc $\lim_{x\to-1}f(x)=-\dfrac{1}{2} \cancel {=f(-1)}$ théoriquement il faudrait justifier ce résultat en déterminant/donnant la limite de chaque facteur du quotient (ce qui montre qu'il n'y a plus de FI)

or f(-1) = 1/2

donc par définition f est continue en -1.

qu'en pensez-vous ?

il y a des remarques de forme (que je ne sanctionnerai pas bien sûr dans un devoir) et une de fond (la limite) plus fondamentale en math

pour la forme une remarque : il est important d'apprendre à articuler sa pensée et faire les choses dans l'ordre en introduisant les données ou hypothèses au moment où on en a besoin : cela montre qu'on sait de quoi on parle et non pas une simple récitation" de solution

Posté par re : Continuité de fonction. 09-12-20 à 19:09

C'est compris !

Merci

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