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Continuité de fonctions

Posté par
matheux14
09-12-20 à 20:05

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit f la fonction définie sur \R par :

\begin{cases} f(x)=\sqrt{x²-x}-ax~ , ~ \text{si} ~ x \in [1 ;+\infty[ \\ 
 \\ 
 \\ 
 \\ f(x)=\dfrac{\sqrt{3x+1+5x²}-3}{x-1} ~ , ~ \text{si} ~ x \in ]-\infty ;1[ \end{cases}a est un nombre réel.

Déterminer a pour que f soit continue en 1.

Réponses

f est continue en 1 <==> f(1)=\lim_{x\to1}f(x)

* \forall x \in [1 ;+\infty[ , f(x)=\sqrt{x²-x}-ax

f(1)=\sqrt{1²-1}-a×1=-a.

* \forall x \in ]-\infty ;1[ , f(x)=\dfrac{\sqrt{3x+1+5x²}-3}{x-1}

=\dfrac{(\sqrt{3x+1+5x²}-3)(\sqrt{3x+1+5x²}+3)}{(x-1)(\sqrt{3x+1+5x²}+3)}

=\dfrac{(3x+1+5x²-9)}{(x-1)(\sqrt{3x+1+5x²}+3)}

=\dfrac{(5x²+3x-8)}{(x-1)(\sqrt{3x+1+5x²}+3)}

=\dfrac{5(x+\dfrac{8}{5})(x-1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1+5x²}+3)}

f(x)=\dfrac{5(x+\dfrac{8}{5})}{\sqrt{3x+1+5x²}+3}

Donc \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\dfrac{5(x+\dfrac{8}{5})}{\sqrt{3x+1+5x²}+3}=\dfrac{13}{6}

Donc f est continue en 1 <==> f(1)=\lim_{x\to1}f(x)

<==> -a=\dfrac{13}{6}

<==> a=-\dfrac{13}{6}

J'ai remplacé a par sa valeur et voilà ce que j'ai avec GeoGebra..

Continuité de fonctions

Il est clair que f n'est pas continue en a.

Ai je commis une faute dans mes calculs ?

Posté par
matheux14
re : Continuité de fonctions 09-12-20 à 20:06

*pas continue en 1..

Posté par
Glapion Moderateur
re : Continuité de fonctions 09-12-20 à 20:29

Bonsoir, mais si ça marche, tu n'as pas dû rentrer les deux expressions correctement,
utilise f(x) = Fonction( Fonction , de , à )

Continuité de fonctions

on voit très bien la continuité en 1 avec le a que tu as trouvé.

Posté par
matheux14
re : Continuité de fonctions 09-12-20 à 20:44

D'accord , et au niveau de la réaction ça va ?

Posté par
carpediem
re : Continuité de fonctions 09-12-20 à 22:14

salut

matheux14 @ 09-12-2020 à 20:44

D'accord , et au niveau de la réaction ça va ?
je t'ai déjà répondu dans un autre post ... même si ce n'est pas tout à fait le pb c'est quasiment la même chose ...

on peut faire plus rapide :

posons g(x) = \sqrt {5x^2 + 3x + 1}

g est définie et dérivable sur R (à justifier)

et \lim_{x \to 1^+} f(x) = g'(1) = \dfrac {13} 6

Posté par
matheux14
re : Continuité de fonctions 09-12-20 à 22:25

Ok

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