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Continuité de la composée de deux fonctions en un point.
Bonjour,
En classe, le prof a démontré la propriété de la continuité de la composée de deux fonctions en un point comme suit:
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et continue en x0
I.
Soit g une fonction définie sur un intervalle J tel que f(I)
J et continue en f(x0).
Montrons que:
Mais je ne comprends pas vraiment ce raisonnement... Pouvez-vous me l'expliquer??
Merci d'avance.
salut
ce n'est pas vraiment un raisonnement !!
pour éviter des indices et par commodité je pose a = f(b) et c = g o f (b)
on veut montrer que : pour tout e > 0 il existe n > 0 tel que |x - a| < n => |g o f (x) - g o f(a)| < e
g est continue en f(a) = b donc il existe h > 0 tel que |f(x) - b| < h => |g o f (x) - g(b)| < e <=> |f(x) - f(a)| < h => |g o f (x) - g o f (a)| < e
or f est continue en a donc il existe m > 0 tel que |x - a| < m => |f(x) - f(a)| < h
donc au final : |x - a| < m => |f(x) - f(a)| < h => |g o f (x) - g o f (a)| < e
et il te suffit deprendre n = m ...
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