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Continuité de la composée de deux fonctions en un point.

Posté par
Nijiro
19-11-20 à 17:50

Bonjour,

En classe, le prof a démontré la propriété de la continuité de la composée de deux fonctions en un point comme suit:

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et continue en x0I.
Soit g une fonction définie sur un intervalle J tel que f(I)J et continue en f(x0).

Montrons que:
\lim_{x\rightarrow x_0}g(f(x))=g(f(x_0))\\ \text{On pose: } y_0=f(x_0)\\ \text{Soit } \epsilon >0;\\ \text{On a: }\begin{cases} \alpha _1>0 \Rightarrow (|x-x_0|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\alpha _1)\\ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\Rightarrow |g(f(x))-g(y_0)|<\epsilon \end{cases}

Mais je ne comprends pas vraiment ce raisonnement... Pouvez-vous me l'expliquer??
Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : Continuité de la composée de deux fonctions en un point. 19-11-20 à 18:17

salut

ce n'est pas vraiment un raisonnement !!

pour éviter des indices et par commodité je pose a = f(b) et c = g o f (b)

on veut montrer que : pour tout e > 0 il existe n > 0 tel que |x - a| < n => |g o f (x) - g o f(a)| < e

g est continue en f(a) = b donc il existe h > 0 tel que |f(x) - b| < h => |g o f (x) - g(b)| < e <=> |f(x) - f(a)| < h => |g o f (x) - g o f (a)| < e

or f est continue en a donc il existe m > 0 tel que |x - a| < m => |f(x) - f(a)| < h

donc au final : |x - a| < m => |f(x) - f(a)| < h => |g o f (x) - g o f (a)| < e

et il te suffit deprendre n = m ...

Posté par
Nijiro
re : Continuité de la composée de deux fonctions en un point. 28-11-20 à 20:59

Salut!
C'est très clair, merci carpediem, j'ai compris ^^.

Posté par
carpediem
re : Continuité de la composée de deux fonctions en un point. 28-11-20 à 21:13

de rien

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