Bonjour,
Je voulais vous demander des précisions sur ces notions.
Tout d'abord, je sais montrer qu'une fonction est continue en un point (--->limite à gauche==limite à droite).
Je sais qu'une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Maintenant, on me demander de montrer qu'une fonction est continue sur R*.
Comment dois je faire ? Je ne pense qu'il faut que j'étudie tous les points.
Concernant la dérivabilité( je sais la montrer pour un point------->Taux d'accroissement).
Mais comment faire pour un intervalle entier comme R* ?
Enfin ma dernière question, un fonction peut elle être continue sur R* et être continue sur 0 ?
(On me l'a confirmé mais j'ai du mal à imaginer comment).
Merci d'avance !
Salut Stanz,
Pour montrer qu une fonction est continue sur un intervalle, bien sur il ne faut pas le demontrer pour chaque point de cet intervalle. Il faut se servir du theoreme du cours qui te dit que les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de definition et pour une fonction donnee, il faut trouver comment on l obtient par composees et operations de fonctions usuelles et a ce moment, on dit qu elle est continue.
Meme chose pour la derivabilité avec la seule difference que la fonction racine carrée n est pas derivable en 0. A part ca, les fonctions usuelles sont derivables sur leur ensemble de definition.
Derniere question: oui, la fonction carré par exemple est continue sur R, elle est donc continue en 0 et sur R*. C etait vraiment ta question?
Ca te trouble, hein?
Pour montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle, en général on utilise la composition de fonctions dont on sait déjà qu'elles sont continues (pratiquement toutes celles que tu connais). Les seuls problèmes que tu peux rencontrer à ce niveau, ce sont les dénominateurs qui s'annulent, des valeurs interdites dans certaines fonctions trigonométriques, et des intervalles de définition pour des racines ou des logarithmes.
En général le problème se pose en un point bien précis et là, tu regardes les limites des deux côtés.
C'est pareil pour la dérivabilité... compsition sur de grands intervalles, éventuellement problème en des points...
Je ne comprends pas trop ta dernière question... une fonction telle que tu la décris est continue sur , et bien sur que ça existe! Par exemple
. (En fait n'importe quelle fonction continue sur un intervalle plus grand vérifie cette condition, mais je t'ai donné un exemple minimal)
Merci à vous deux.
Donc si je résume, pour justifier la continuité ou la dérivabilité sur un Intervalle, il suffit de faire un phrase comment on a obtenu cette fonction et éventuellement chercher les limites des points posant problème .
Si je considère
f(x) = x²cos(3/x) définit sur R*
Ici, on voit directement qu'il y a un problème pour x=0.On fait la limite en 0- et 0+, comme le cosinus est bornée et que x²tend vers 0, f(x) tend vers 0. ( ce qui prouve que la fonction est continu en 0).
F est la composé de x² qui est continue sur R, et de sin(3/x)continue sur R* (3/x continue sur R* à valeur dans R)
Donc F est continue sur R*.
F est la composé de x² qui est dérivable sur R et de sin (3/x) dérivable sur R* (3/x dérivable sur R* à valeur dans R)
Donc F est dérivable sur R*
Pour la 3ème question, c'est justement dans ce cas, f(x) est continue sur R* (non sur R tout entier) et est continue sur 0. Comment peut elle être continue en 0 si elle n'est pas défini en 0? (racine(x) est continue en 0 et est défini en 0)
Merci encore !
Je vois enfin ou est ton problème... (et c'est un vrai problème tu as bien raison d'insister) Pour . Elle n'est pas définie en 0; il se trouve que
. Alors on fait une belle phrase du genre: on prolonge la fonction F en 0 en posant F(0)=0. La fonction ainsi définie est continue sur R. Maintenant on peut étudier sa dérivabilité en 0... et elle est dérivable avec F'(0)=0 (vu sur les taux d'accroissement)
Bonjour, merci de votre réponse.
Est ce que ma justification sur la continuité et la dérivabilité est juste ?
J'ai du mal à vous suivre. Pouvez reformuler.
Merci
Je n'ai pas réussi à trouver le bouton éditer(pardon auprès de la modération)
J'ai relu votre message, êtes vous en train de me dire que cette fonction doit être d'abord continu sur R (et non R*)pour pouvoir etudier la dérivabilité sur R* ?
En fait, pour qu'elle devienne continue,vous faites un prolongement par continuité qui consiste grossièrement à prendre une autre fonction pour"boucher" là où la fonction x²cos(3/x) n'est pas défini donc en 0.).Ce qui permettra d' étudier la dérivabilité. Est cela ?
Mon exercice vous donnerait raison car il est indiqué que f(0)=0
2 questions me viennent:
*Sommes nous obligés de faire ce prolongement ? (En fait, quel théorème, justification, dit que je dois avoir une fonction continue pour étudier sa dérivabilité, est ce de la logique ?)
*J'ai du mal, si elle n'est pas défini en 0, elle est forcement non continue en ce point (or comme vous l'avez dit F(x)=0 quand x=0 donc continue en 0) Comment est ce possible ?
Merci !
Tu n'as aucun problème avec cette fonction sur . Continue, dérivable, comme composée... etc.
Elle n'est définitivement pas définie en 0, donc les questions de la continuité et de la dérivabilité ne se posent même pas! Il se trouve que celle-ci a une limite, donc comme tu le dis, on bouche le trou en définissant une NOUVELLE fonction (on devrait l'appeler autrement) qui coïncide avec F sur et qui vaut ce qu'il faut en 0. Maintenant on peut se poser la question de la continuité (la réponse est oui, puisqu'on a choisi la bonne valeur) et de la dérivabilité en ce point (là, ce n'est pas joué d'avance, il se trouve qu'ici c'est oui.
Je te suggère d'essayer de faire le même travail pour les fonctions suivantes définies sur
f(x)=1/x
g(x)=|x|/x
h(x)=x/x
l(x)=x^2/|x|
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