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Continuité et Convexité

Posté par
jess97
31-10-18 à 06:21

Bonjour, j'aurais besoins d'un peu d'aide pour me guider dans réalisation du devoir suivant:
                                                     Convexité d'une fonction

On considère la fonction g définie sur  [\frac{1}{2}; 10 ] dont la représentation graphique
(la courbe) C est donnée ci-dessous et T sa tangente au point d'abscisse \frac{9}{4}.

On précise que g admet un minimum en \frac{3}{2} et  on donne:

                             g (\frac{1}{2}) = 5,  g (\frac{3}{2}) = -\frac{1}{3}   et g (10) = \frac{63}{100}

Partie A. Étude graphique


1) À l'aide du graphique justifier que  la fonction g est continue sur[\frac{1}{2};10 ].
2) Lire graphiquement g'(\frac{3}{2}).
3) Dresser le tableau de variation de g.
4) En déduire le nombre de solutions de l'équation g(x) = 1.
5) Étudier graphiquement la convexité de g

Partie B. Étude théorique

On donne l'expression g (x) =\frac{x^2-4x+3}{x^2}


1) Montrer que g'(x) = \frac{2(2x-3)}{x^3}

2)a. Montrer que g''(x) = \frac{-2(4x-9)}{x^4}

    b. Étudier le signe de g''(x) sur [\frac{1}{2}; 10 ] et en déduire la convexité de g.
    c. Donner les coordonnées du point d'inflexion de (la courbe) C.

Continuité et Convexité

Posté par
kenavo27
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 06:56

Bonjour
Définition de la continuité

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 07:13

Travail réaliser jusqu'ici :

Partie A

1) On considéré la fonction g définie et continue sur [\frac{1}{2} ;10].
Pour tout réel k [ g (\frac{1}{2}) ; g (10) ]
l'équation g(x)= k admet au moins 1 solution dans [\frac{1}{2} ; 10].
D'autant plus que une fonction f est continue sur une intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre  l'intervalle ce qui est le cas de la fonction g.

2) L' antécédent de \frac{3}{2} par g  est  \simeq 0,5

3)  g       - \frac{1}{2}                            1,5                   10 +
     g(x)      Décroissant                            Croissant

(Désolé je ne sais pas comment faire le tableaux de variations )

4) Une seule et unique solution est possible pour  l'équation g (x) = 1

5) Soit une fonction g définie et dérivable sur un intervalle [\frac{1}{2} ; 10]. La fonction g est convexe sur [\frac{1}{2} ; 1,5], car sa dérivé g' est croissante sur [1,5; 10] et représente un point d'inflexion en x = 1,5.

Partie B

1) On reconnait la fonction dérivable \frac{U}{V} = \frac{U' V - V' U }{V^2}

donc, nous avons :   V(x) = x^2                   U(x) = 4x + 3

                                           V'(x) = 2x                   U'(x)  = 4

g (x) =\frac{4x^2- (2x *4x)+3}{(x^2)^2}
g (x) = \frac{4* x^2- (2x*4x]+3}{x^4}


Après cet exercice, c'est le néant je bloque à ce niveau d'ailleurs je ne sais pas si les réponses que j' ai mis avant ça  sont juste.

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 07:14

voici le graphique original

Continuité et Convexité

Posté par
kenavo27
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 09:00

u'=2x-4
v'=4x3

Posté par
kenavo27
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 09:02

Oups
v'=2x2

Posté par
kenavo27
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 09:06

Et oui
On te donne g(x)=(4x2-4,x+3)/x2

Posté par
kenavo27
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 09:07

v'=2x
Dernière correction avec v'
Excuse moi.

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 13:52

Avant de continuer je voie que vous êtes passer directement  à la première question de la partie b.
Es que cela signifie que les réponses que j'ai apporté aux questions de la partie À sont juste ?

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 18:08

je ne comprend pas ton raisonnement pourrais tu être plus claire ?

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 18:10

d'ailleurs j'aurais besoin de savoir  les réponses que j'ai donner pour la partie A sont juste s'il te plait

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 18:27

On donne l'expression g (x) =\frac{x^2-4x+3}{x^2}  

On reconnait la fonction dérivable \frac{U}{V} = \frac{U' V - V' U }{V^2}
selon  moi:  V(x)=  x^2                     U(x)= 4x +3
                          V'(x) = 2x^2^-^1         U'(x)= 4*x + O
                         V'(x) = 2x                     U'(x)= 4

Mais, selon toi :
"On te donne g(x)=\frac{(4x^2-4,x+3)}{x^2}
" message de 09 : 06
D'où sort cette formule ?

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 18:45

quelqu'un pourrais répondre s'il vous plait

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 19:27

À c'est bon j'ai compris désoler

\frac{x^2-4x+3}{x^2}

V(x) = x^2                                 U(x)=x^2-4x+3
V'(x)=2x^2^-^1                         U'(x)= 2x-4*x+0
V'(x)=2x                                 U'(x)=2x-4

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 31-10-18 à 19:43

ce qui donne :

g(x)=\frac{(2x-4)*( x ^2) - (x^2-4x+3)*(2x)}{(x^2)^2}

Posté par
kenavo27
re : Continuité et Convexité 01-11-18 à 10:56

et maintenant, tu développes le numérateur , tu simplifies
et
tu retrouveras
g'(x)=(2(2x-3))/x3

g"=...................à toi

Posté par
jess97
re : Continuité et Convexité 02-11-18 à 03:00

Ce qui donne \frac{(2x-4)×(x^2)-(x^2×2x)-(4x×2x)+(3×2x)}{x^3}



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