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continuité et fonction

Posté par
Dexter2017
01-10-16 à 20:03

Bonsoir, j'ai une question qui me dérange depuis beaucoup de temps maintenant.
f est une fonction continue sur 0,1 (0 et 1 sont inclus)  et vérifie pour x dans cet interval : f(\frac{x}{2}) + f(\frac{x+1}{2})=3f(x)
montrer que la fonction est la fonction nulle.

En fait je sais pas par où commencer. j'ai établi dans un premier temps que la fonction g(x) = f(\frac{x}{2}) + f(\frac{x+1}{2})-3f(x) est continue, ensuite je ne sais pas comment procéder, il me faudrait juste un fil directeur, une petite idée que je pourrais ensuite develloper;

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : continuité et fonction 01-10-16 à 20:36

Bonjour,

Je partirais plutôt de la forme f(x) = \dfrac{ f\left(\dfrac{x}{2}\right) + f\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\right) }{ 3 }

Soit x\in[0;1]

Éclatons les deux f(...) du numérateur :
f(x) = \dfrac{ f\left(\dfrac{x}{4}\right) + f\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{2}\right) + f\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}\right) + f\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\right) }{ 3^{2} }

f(x) = \dfrac{ f(...) + ... +  f(...) }{ 3^{2} } avec 2^2 expressions f(...) au numérateur.

En répétant cette opération, on arrive à :
f(x) = \dfrac{ f(...) + ... +  f(...) }{ 3^{n} } avec 2^n expressions f(...) au numérateur.

On peut prendre la valeur absolue... majorer...

Nicolas

Posté par
Dexter2017
re : continuité et fonction 01-10-16 à 21:07

je vois peut-être  où tu veux en venir, une majoration du type f(x)  \le \frac{f(\frac{x}{2^n}}{3^n} va mener à une limite nulle en l'infini et donc f(x)=0 mais c'est juste approximatif, il faut encore s'assurer de la véracité de cette idée et de la possibilité de majoration car la monotonie de f n'est pas mentionnée dans les données.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : continuité et fonction 01-10-16 à 21:08

Plutôt une majoration du type |f(x)| \le \dfrac{A \times 2^n}{3^n}

Posté par
Dexter2017
re : continuité et fonction 01-10-16 à 22:13

C'est assez ambigu pour moi, j'ai beau cherche je ne vois comment trouver cette constante A et de plus je ne sais comment exploiter l'argument de continuite

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : continuité et fonction 01-10-16 à 22:17

La continuité permet de garantir que la fonction est bornée sur [0;1].

J'ai montré un chemin ci-dessus pour montrer que :
\forall n\ge 1, \quad f(x) = \dfrac{ f(...) + ... + f(...) }{ 3^{n} } avec 2^n expressions f(...) au numérateur.

En prenant la valeur absolue :
\forall n\ge 1, |f(x)| \le \dfrac{A \times 2^n}{3^n}

Puis on fait tendre n vers l'infini.

Posté par
Dexter2017
re : continuité et fonction 01-10-16 à 22:33

C'est plus clair maintenant mais il reste a preciser une chose. Dans l'expression du numerateur de f peut on nous trouver une expression a l'interieur d'une f(...)  parmi les 2^n expressions de numerateur qui ne soit pas comprises entre 0,1 et donc non bornee

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : continuité et fonction 01-10-16 à 22:38

C'est une bonne question.

Mais tu peux montrer que, pour tout x dans [0;1], x/2 et (x+1)/2 y sont aussi.

Posté par
Dexter2017
re : continuité et fonction 01-10-16 à 22:38

C'est bon je viens de m'assuerer qu'il sont tous compris entre0 et 1.

Posté par
Dexter2017
re : continuité et fonction 01-10-16 à 22:40

Je vais preciser sa dans peu de temps

Posté par
Dexter2017
re : continuité et fonction 01-10-16 à 22:48

le plus grand terme que l'on peut trouver dans le numérateur est de la forme \frac{x}{2^n} + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^(n-1)} +....+\frac{1}{2} par une simplification de somme on trouve =  \frac{x}{2^n}  + 2(1-\frac{1}{2^(n+1)})-1 =  \frac{x}{2^n} +1 - \frac{1}{2^(n)} et après encadrement on trouve bien qu'il est compris entre 0,1. Est-ce-que sa tient la route comme preuve d'encadrement
Sinon je te remercie infiniment tu m'a vraiment enlever une épine du pied

Posté par
Dexter2017
re : continuité et fonction 01-10-16 à 22:49

le plus grand terme que l'on peut trouver dans le numérateur est de la forme \frac{x}{2^n} + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^(n-1)} +....+\frac{1}{2} par une simplification de somme on trouve =  \frac{x}{2^n}  + 2(1-\frac{1}{2^(n+1)})-1 =  \frac{x}{2^n} +1 - \frac{1}{2^n} et après encadrement on trouve bien qu'il est compris entre 0,1. Est-ce-que sa tient la route comme preuve d'encadrement

Désolé j'ai oublié d'introduire le latex

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : continuité et fonction 01-10-16 à 22:55

Pour moi, tu n'as pas à démontrer que pour tout x dans [0;1], x/2 et (x+1)/2 y sont aussi.
C'est sous-entendu dans l'énoncé.
Sinon, l'expression donnée par l'énoncé serait fausse.
Tu peux néanmoins le redémontrer par précaution en début d'exercice, pour montrer la cohérence de l'énoncé.

Une fois que cela est précisé, il est donc évident de proche en proche que les f(...) sont tous dans [0;1].

Posté par
Dexter2017
re : continuité et fonction 01-10-16 à 23:03

Ok merci donc je saute cette etapes. Je tient encore a te remercier pour ta patience avec moi. Le fil directeur de la demonstration est d'observer que f est bornee et qu'elle est decomposable infiniment c'est vraiment tres astucieux de ta part

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : continuité et fonction 01-10-16 à 23:06

Il peut y avoir d'autres méthodes. Je t'en prie.



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