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continuité et monotonie d une fonction

Posté par
med1957 14-11-23 à 23:20

bon soir
je ne peux plus avancer dans cet exercice merci  pour votre aide voici l enoncé :
Soit f : ]0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R}  une fonction croissante telle que  \frac{f(x)}{x} est décroissante sur ]0, +\infty[.

montrez que :

La fonction  f est continue sur ]0, +\infty[.


ce que j ai fait :

soit x_0 \in ]0, +\infty[ montrons que \lim f(x)_{x\to x_0}=f(x_0)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 08:17

Bonjour,
Traduis les deux données sur le sens de variation des fonctions f et x f(x)/x.

Posté par
med1957re : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 10:26

bonjour merciSylvieg
f est croissante sur  \R^{*+}   ssi pour tous reels x y positifs strictement    x  \leq    y   \implies f(x)   \leq   f(y)    

x\to f(x)/x est decroissante sur  \R^{*+}   ssi pour tous reels x y positifs strictement    x  \leq    y   \implies f(x) /x  \geq   f(y) /y    

et je ne peux plus avancer

Posté par
Sylvieg Moderateurre : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 11:43

Tu veux démontrer que la limite de f(x) quand x tend vers a est f(a).
Dans ce but, commence par remplace y par a dans ce que tu as écrit.
Cherche ensuite à utiliser le théorème dit "des gendarmes".

Posté par
med1957re : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 13:59

bon soir
merci Sylvieg  vous voulez parler de la limite a droite et a gauche  mais qui me garanti l existence de cette limite  ?  
on remplace donc x et y par x_0 \in \R^{+*} mais je ne sais pas est ce que cette limite existe ou non



si f est croissante donc \forall x \in \R^{+*}   f'(x) \geq 0  
je ne peux pas affirmer que f est derivable en x
on peut trouver des fonctions non derivable en x \in I(intervalle ouvert) et pourtant f monotone sur I

Posté par
Sylvieg Moderateurre : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 14:22

Pour faire ceci, tu ne supposes pas d'existence de limite :

Citation :
commence par remplacer y par a dans ce que tu as écrit.
L'as-tu fait ?
Je n'ai pas parlé de remplacer x. Garde x.

Pour la suite non plus, on ne suppose rien sur les limites :
En déduire un encadrement de f(x) pour x a.
Puis la limite des bornes de cet encadrement quand x tend vers a par valeurs inférieures.

Posté par
med1957re : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 19:41

bon soir
   merci Sylvieg

f est croissante sur  \R^{*+}   ssi pour tous reels x y positifs strictement    x  \leq    y   \implies f(x)   \leq   f(y)  
  x  \leq    a   \implies f(x)   \leq   f(a)  
x\to  \frac{f(x)}{ x} est decroissante sur \R^{+*}

  x  \leq    a   \implies f(x) /x  \geq   f(a) /a   
  \implies f(x)   \geq   \frac{f(a)}{ a} \times x   
et par suite  :
x\leq a \implies   \frac{f(a)}{ a} \times x \leq f(x)\leq f(a)  


d ou \lim _{x\to a^-}=f(a) f est donc continue a gauche  de a
idem pour la continuité a droite de a

Posté par
carpediemre : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 20:08

salut

en attendant le retour de Sylvieg (car je suis depuis un petit moment)

ce qui suit ton " et pas suite" n'a aucun sens

quand on parle de continuité on parle de limite : il faut donc faire tendre quelque chose vers autre chose : en l'occurrence ici faire tendre x vers a

Posté par
Sylvieg Moderateurre : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 20:54

Bonsoir carpediem,
Ce qui suit "et par suite" vient des deux implications :
1) x \leq a \implies f(x) \leq f(a)
2) x \leq a \implies f(x) /x \geq f(a) /a
\implies f(x) \geq \dfrac{f(a)}{ a} \times x

De 1) et 2) on déduit
3) x\leq a \implies \dfrac{f(a)}{ a} \times x \leq f(x)\leq f(a)

Par contre, med1957 n'indique pas comment il en déduit la limite à gauche en a de f(x).

Posté par
carpediemre : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 21:00

merci Sylvieg : je suis passé à côté donc je te laisse continuer

et désolé med1957

mais tout de même je ne comprends pas tout de même :

partir de 2) pour arriver à 3) ... qui est en fait 1)

on verra plus tard et je te laisse

Posté par
med1957re : continuité et monotonie d une fonction 15-11-23 à 21:55

bonsoir
merci carpediem merci Sylvieg
en faisant tendre x vers a et utilisant le th de gendarmes
on aura  

\lim _{x\to a^-}=f(a) c est a dire  que f est continue a gauche de a
pour la continuité a droite de on utilise le meme raisonnemet
x\geq a \implies f(x) \geq f(a) ........

Posté par
Sylvieg Moderateurre : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 07:25

@med1957
J'aurais aimé voir quelque chose sur la limite du membre de gauche de l'encadrement, même si c'est évident.

@carpediem,
Je ne vois pas ce que tu ne comprends pas.
Je reformule :
Pour \; 0 < x a \; on a
D'une part \; f(x) f(a) .
D'autre part \; f(x)/x f(a)/a .
De ces deux inégalités on déduit l'encadrement suivant :
xf(a)/a f(x) f(a)

Posté par
med1957re : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 08:59

bonjour merci Sylvieg
x\times \frac{f(a)}{a } \leq f(x) \leq  f(a)
faisant tendre x\to a^- on aura :
\lim_{x \to a^-} \frac{f(a)}{a }\times x=\frac{f(a)}{a }\times a=f(a)
et
\lim _{x\to a^-} f(a)=f(a) une fonction constante

et d apres le TH  des gendarmes \lim_{x \to a^-}f(x)=\lim_{x \to a^-} \frac{f(a)}{a } \times  x=\lim _{x\to a^-}f(a)=f(a)

Posté par
carpediemre : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 09:14

Sylvieg : en fait c'est la façon de rédiger qui me génait

moi je l'aurai plutôt rédigé ainsi :

x a f(x) f(a)

donc en passant à la limite \lim_{x \to a^-} f(x) \le f(a)

2/ ... \dfrac x a f(a) \le f(x)

donc en passant à la limite \lim_{x \to a^-} \dfrac x a f(a) \le \lim_{x \to a^-} f(x) \iff f(a) \le \lim_{x \to a^-} f(x)

puis conclusion
et faire de même en a^+

Posté par
Sylvieg Moderateurre : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 09:15

C'est mieux
Je préfère ceci :

x\times \dfrac{f(a)}{a } \leq f(x) \leq f(a)
faisant tendre x\to a^- on aura :
\lim_{x \to a^-} \dfrac{f(a)}{a }\times x=\dfrac{f(a)}{a }\times a=f(a)
et
\lim _{x\to a^-} f(a)=f(a) une fonction constante

Les deux limites sont égales à f(a). D'après le TH des gendarmes \lim_{x \to a^-}f(x)=f(a)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 09:18

Messages croisés.
J'ai répondu à med1957.

@carpediem,

Citation :
merci Sylvieg vous voulez parler de la limite à droite et à gauche mais qui me garantit l'existence de cette limite ?

Posté par
med1957re : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 09:34

merci Sylvieg merci carpediem
bonne journée

Posté par
Sylvieg Moderateurre : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 09:58

De rien, l'exercice était intéressant.
À une autre fois sur l'île \;

Posté par
med1957re : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 10:03

bonjour
j ai trouvé dans un autre site une autre formulation de la resolution  cet exercice

puisque f est monotone sur \R^{+ *} donc f admet des limites a droites et a gauche en tout point de   \R^{+ *}  
soit x_0 \in  \R^{+ *}  
et soit l_g ;l_d les limites resp a gauche et a droite de x_0

en  utilisant le faite que f est croissant sur   \R^{+ *}  on demontre que l_g  \leq l_d

en  utilisant le faite que  t\to f(t)/test decroissant sur   \R^{+ *}  on demontre que l_g  \geq_d

mais j ai feuilleté la cahier de cours afin de chercher un TH qui prouve l existence de ces deux limites et en vain je n ai rien trouvé peut etre c est un Th du superieur
l idée de Sylvieg est tres bonne
et merci

Posté par
Sylvieg Moderateurre : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 10:19

Oui, je pense que c'est ce que voyait carpediem.
Il saura mieux que moi si la propriété est censée être connue en terminale.

Posté par
carpediemre : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 12:48

oui ce qu'on a démontré c'est que la limite à gauche est f(a)

mais il faut aussi prouver que la limite à droite est aussi f(a) (voir la fin de mon msg à 9h14)

med1957 @ 16-11-2023 à 10:03

f est monotone sur \R^{+ *} donc f admet des limites a droites et a gauche en tout point de   \R^{+ *}
c'est l'équivalent du résultat sur les suites : toute suite croissante et majorée (décroissante et minorée) admet une limite

et c'est pour cela que j'ai écrit ainsi
carpediem @ 16-11-2023 à 09:14

x a f(x) f(a)

donc en passant à la limite \lim_{x \to a^-} f(x) \le f(a)
qui est dire la même chose sans citer ce théorème qui n'est pas connu en terminale

une remarque cependant : le rédiger tel que je l'ai fait admet implicitement l'existence d'une limite à gauche (et à droite pour l'autre cas) donc c'est au final connaitre ce résultat.

il faudrait précéder ma rédaction par : "si la limite à gauche existe alors"

l'encadrement trouvé ensuite traduit donc que cette limite existe (puisqu'elle vaut f(a))

Posté par
med1957re : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 16:37

bonsoir
mille merci carpediem etSylvieg pour vos conseils
j ai redigé la démonstration pour la limite a  droite mais etant donné que je ne maitrise pas bien le Latex je trouve des difficultées dans la redaction et ca me prend beaucoup de temps

j ai cherché dans le web j ai trouvé
si une fonction est monotone (croissante ou décroissante) sur un intervalle, elle admet une limite à gauche et une limite à droite en tout point. (ces limites ne sont pas forcement egales)
Soit  f une fonction croissante sur l'intervalle  I.
Pour tout a\in I, on a :

\lim_{x\to a^-} f(x)\leq f(a)\leq\lim_{x\to a^+} f(x)

La fonction f est continue en  a si et seulement si les trois valeurs coïncident.

l astuce de Sylvieg   permet  d utiliser uniquement les notions du programme de terminal a savoir le fameux Th des gendarmes

Posté par
carpediemre : continuité et monotonie d une fonction 16-11-23 à 19:58

oui le raisonnement à s'applique tout autant à gauche qu'à droite

PS : sans vouloir diminuer la grande valeur intellectuelle  de Sylvieg ce n'est pas une astuce

c'est simplement la traduction de la définition de fonction croissante ou décroissante pour aboutir à une inégalité


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