Bonjour Olivier
Tu peux voir ça géométriquement : Considère un point M(x,y). La contrainte signifie ici que tu cherches M dans le disque de centre O (origine du repère) et de rayon 10, bord compris. Ce que tu cherches à maximiser, c'est x+y. Posons x+y=k. ça peut se lire aussi y=-x+k . Pour chaque k, ça correspond à une droite. Toutes ces droites sont parallèles entre elles, et k correspond à leur ordonnée à l'origine, et on cherche k le plus grand possible. Tu fais un dessin : le cercle de rayon 10 et de centre 0, une de ces droites, et maintenant avec ta règle, tu fais glisser la droite vers le haut jusqu'à ce qu'elle quitte le disque : l'ordonnée à l'origine atteinte est ton max. ça arrivera quand elle sera tangente au cercle, pour x = y = .. (un coup de main de ce cher Pythagore), d'où max = ... Tu suis ?
Je sais, les économistes préfèrent leurs usines à gaz avec Lagrangien, mais dans des cas aussi simples, est-ce bien nécessaire ?

résoudre max (x,y) = x+y sous contrainte x²2 + y² =< 10
par exemple maximiser la production.
Le producteur cherchera à rendre maximum la produuction tout en tenant compte de sa contrainte de revenu.
Une condition nécéssaire pour que (x barre, y barre)
maximise sa satisfaction est qu'il annule les dérivées du lagrangien.
L(x,y)= Q(x,y)+lambda(10-x²-y²)=x+y-lambda(10-x²-y²)
(1) L'x=y-2 lambda x=0
(2) L'y= x- 2 lamba y=0
(3) 10-x²-y²=0 contrainte

(1)/(2)
y/x=2x/2y
2y²=2x²
y²=x²
en se servant de (3) on a
10-x²-y²=0
10-x²-x²=0
10-2x²=0
x²=10/5
x²=2
x= rac 2
y= rac 2
La production maximale est donc Qmax=Q(rac2;rac 2)= 2rac2

Une condition suffisante pour avoir un maximum (local) est que la matrice hessienne des dérivées secondes soit définie négative ou Q concave.

   (Q"x      Q"xy  2x
    Q"xy     Q"y    2y
    2x       2y      0)
Comme on a  n=2 et m=1 1 contrainte
cela se ramène à l'étude du signe du déterminant de la matrice.

Voilà d'une ancienne éconmiste.C4est un peu loin pour moi.